1.26. Даны точки А и В. Для каждой точки М, не совпадающей с точкой В и лежащей на прямой АВ, рассмотрим отношение АМ : ВМ. Где расположены точки, для которых это отношение: а) больше 2; б) меньше 2?

Решение:

Пусть точки A и B заданы на числовой оси координатами \( x_A \) и \( x_B \). Точка M имеет координату \( x_M \). Расстояния AM и BM равны \( |x_M - x_A| \) и \( |x_M - x_B| \) соответственно. Условие задачи: \( \frac{AM}{BM} = k \), где \( k \) — заданное число. Следовательно, \( AM = k · BM \).

Это означает, что точки M, для которых отношение расстояний до двух фиксированных точек A и B постоянно, лежат на окружности Аполлония (если \( k \neq 1 \)). Если \( k = 1 \), то множество точек — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

В данном случае точки M лежат на прямой AB. Это означает, что нам нужно рассмотреть точки M на прямой, проходящей через A и B.

а) Отношение AM : BM больше 2

Это значит, что \( AM > 2 · BM \).

Рассмотрим два случая расположения точки M относительно A и B:

1. M находится между A и B: \( x_A < x_M < x_B \) (или \( x_B < x_M < x_A \)). В этом случае \( AM = |x_M - x_A| \) и \( BM = |x_M - x_B| \). Тогда \( |x_M - x_A| > 2 |x_M - x_B| \). Если \( x_A = 0 \) и \( x_B = b \) (где \( b > 0 \)), то \( x_M \in (0, b) \). Условие: \( x_M > 2(b - x_M) \) => \( x_M > 2b - 2x_M \) => \( 3x_M > 2b \) => \( x_M > \frac{2}{3} b \). То есть, точки M лежат на отрезке \( (\frac{2}{3} b, b) \) (если \( x_A < x_B \)).
2. M находится вне отрезка AB:
• Слева от A (M-A-B): \( x_M < x_A < x_B \). Тогда \( AM = x_A - x_M \) и \( BM = x_B - x_M \). Условие: \( x_A - x_M > 2(x_B - x_M) \) => \( x_A - x_M > 2x_B - 2x_M \) => \( x_M > 2x_B - x_A \). Это противоречит условию \( x_M < x_A \) (если \( x_A < x_B \)).
• Справа от B (A-B-M): \( x_A < x_B < x_M \). Тогда \( AM = x_M - x_A \) и \( BM = x_M - x_B \). Условие: \( x_M - x_A > 2(x_M - x_B) \) => \( x_M - x_A > 2x_M - 2x_B \) => \( 2x_B - x_A > x_M \). Если \( x_A = 0 \) и \( x_B = b \), то \( 2b > x_M \). То есть, точки M лежат на луче \( (b, 2b) \) (если \( x_A < x_B \)).

Если \( x_A < x_B \), то точки M, для которых \( AM > 2BM \), расположены на луче, который начинается от точки \( C \) (делит отрезок AB в отношении 2:1) и уходит в бесконечность в сторону точки B, а также на отрезке от \( C \) до точки B. В итоге, это луч, начинающийся от точки \( C \) (которая ближе к B) и простирающийся в сторону B, и отрезок от \( C \) до B.

Более точно: Пусть \( A=0, B=b \). Тогда \( |x-0| > 2|x-b| \). Если \( 0 < x < b \), то \( x > 2(b-x) \) => \( x > 2b - 2x \) => \( 3x > 2b \) => \( x > \frac{2b}{3} \). То есть, \( x \in (\frac{2b}{3}, b) \).

Если \( x > b \), то \( x > 2(x-b) \) => \( x > 2x - 2b \) => \( 2b > x \). То есть, \( x \in (b, 2b) \).

Если \( x < 0 \), то \( -x > 2(b-x) \) => \( -x > 2b - 2x \) => \( x > 2b \), что невозможно.

Таким образом, если \( A=0, B=b \), то \( x \in (\frac{2b}{3}, 2b) \).

б) Отношение AM : BM меньше 2

Это значит, что \( AM < 2 · BM \).

Рассмотрим два случая расположения точки M относительно A и B:

1. M находится между A и B: \( x_A < x_M < x_B \). Условие: \( |x_M - x_A| < 2 |x_M - x_B| \). Если \( x_A = 0 \) и \( x_B = b \), то \( x_M \in (0, b) \). Условие: \( x_M < 2(b - x_M) \) => \( x_M < 2b - 2x_M \) => \( 3x_M < 2b \) => \( x_M < \frac{2}{3} b \). То есть, точки M лежат на отрезке \( (0, \frac{2}{3} b) \) (если \( x_A < x_B \)).
2. M находится вне отрезка AB:
• Слева от A (M-A-B): \( x_M < x_A < x_B \). Тогда \( AM = x_A - x_M \) и \( BM = x_B - x_M \). Условие: \( x_A - x_M < 2(x_B - x_M) \) => \( x_A - x_M < 2x_B - 2x_M \) => \( x_M < 2x_B - x_A \). Это условие выполняется для всех \( x_M < x_A \) (если \( x_A < x_B \)).
• Справа от B (A-B-M): \( x_A < x_B < x_M \). Тогда \( AM = x_M - x_A \) и \( BM = x_M - x_B \). Условие: \( x_M - x_A < 2(x_M - x_B) \) => \( x_M - x_A < 2x_M - 2x_B \) => \( 2x_B - x_A < x_M \). Если \( x_A = 0 \) и \( x_B = b \), то \( 2b < x_M \). Это условие выполняется для \( x_M > 2b \) (если \( x_A < x_B \)).

Если \( x_A < x_B \), то точки M, для которых \( AM < 2BM \), расположены на луче, который начинается от точки \( C \) (делит отрезок AB в отношении 2:1) и уходит в бесконечность в сторону точки A, а также на отрезке от A до \( C \). В итоге, это луч, начинающийся от точки \( C \) (которая ближе к A) и простирающийся в сторону A, и отрезок от A до \( C \).

Более точно: Пусть \( A=0, B=b \). Тогда \( |x-0| < 2|x-b| \). Если \( 0 < x < b \), то \( x < 2(b-x) \) => \( x < 2b - 2x \) => \( 3x < 2b \) => \( x < \frac{2b}{3} \). То есть, \( x \in [0, \frac{2b}{3}) \).

Если \( x > b \), то \( x < 2(x-b) \) => \( x < 2x - 2b \) => \( 2b < x \). То есть, \( x \in (2b, ∞) \).

Если \( x < 0 \), то \( -x < 2(b-x) \) => \( -x < 2b - 2x \) => \( x < 2b \). Это верно для всех \( x < 0 \). То есть, \( x \in (-∞, 0) \).

Объединяя все случаи для \( x_A < x_B \): \( x \in (-∞, 0) ∪ [0, \frac{2b}{3}) ∪ (2b, ∞) \).

Если \( x_A = 0 \) и \( x_B = b \), то точки M, для которых \( AM < 2BM \), расположены на луче \( (-∞, 0) \) (все точки левее A), на отрезке \( [0, \frac{2b}{3}) \) (точки между A и C, где C делит AB в отношении 2:1), и на луче \( (2b, ∞) \) (точки правее D, где D делит AB вне отрезка в отношении 2:1).

Ответ:

а) Отношение AM : BM больше 2: Точки на прямой AB, лежащие на луче, начинающемся от точки, делящей отрезок AB во внешнем отношении 2:1 (ближе к B), и простирающемся в сторону B, а также точки на отрезке между этой внешней точкой и точкой B.

б) Отношение AM : BM меньше 2: Точки на прямой AB, лежащие на луче, начинающемся от точки A и простирающемся в бесконечность в сторону A, и на отрезке от A до точки, делящей отрезок AB во внутреннем отношении 2:1. Также точки, лежащие на луче, начинающемся от точки, делящей отрезок AB во внешнем отношении 2:1 (ближе к A), и простирающемся в сторону B.