1.23. Точка М лежит вне угла АОВ, ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что угол МОС равен полусумме углов АОМ и ВОМ.

Решение:

Пусть \( \angle AOC = \angle BOC = \alpha \), так как \( OC \) — биссектриса \( \angle AOB \).

Угол \( \angle AOB = 2\alpha \).

Так как точка \( M \) лежит вне угла \( AOB \), рассмотрим два случая:

1. Случай 1: Луч \( OM \) проходит между лучами \( OA \) и \( OC \).
   В этом случае \( \angle AOM = \angle AOC - \angle MOC = \alpha - \angle MOC \) и \( \angle BOM = \angle BOC + \angle MOC = \alpha + \angle MOC \).
   Сложим эти углы: \( \angle AOM + \angle BOM = (\alpha - \angle MOC) + (\alpha + \angle MOC) = 2\alpha \).
   Полусумма углов: \( \frac{\angle AOM + \angle BOM}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \).
   Таким образом, \( \angle MOC = \alpha = \frac{\angle AOM + \angle BOM}{2} \).
2. Случай 2: Луч \( OM \) проходит между лучами \( OC \) и \( OB \).
   В этом случае \( \angle AOM = \angle AOC + \angle MOC = \alpha + \angle MOC \) и \( \angle BOM = \angle BOC - \angle MOC = \alpha - \angle MOC \).
   Сложим эти углы: \( \angle AOM + \angle BOM = (\alpha + \angle MOC) + (\alpha - \angle MOC) = 2\alpha \).
   Полусумма углов: \( \frac{\angle AOM + \angle BOM}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \).
   Таким образом, \( \angle MOC = \alpha = \frac{\angle AOM + \angle BOM}{2} \).

В обоих случаях \( \angle MOC = \frac{\angle AOM + \angle BOM}{2} \).

Доказано.