1.12. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною нерівність: 1) 5a + 12 > 5(a + 2); 2) (p − 3)(p + 4) < p(p + 1); 3) (x + 1)² > x(x + 2); 4) y(y + 8) < (y + 4)²; 5) (2a − 5)² ≤ 6a² − 20a + 25; 6) a² + 4 ≥ 4a.

1) Розкриємо дужки справа:
\(5a+12>5a+10\).
Віднімемо \(5a+10\) від обох частин: \(2>0\). Нерівність правильна для будь-якого \(a\).

2) Розкриємо дужки:
\((p-3)(p+4)=p^2+p-12\), тому
\(p^2+p-12Після скорочення: \(-12<0\). Нерівність правильна для будь-якого \(p\).

3) Розкриємо дужки:
\((x+1)^2=x^2+2x+1\), \(x(x+2)=x^2+2x\).
Отже, \(x^2+2x+1>x^2+2x\), тобто \(1>0\). Нерівність правильна для будь-якого \(x\).

4) Розкриємо дужки:
\(y(y+8)=y^2+8y\), \((y+4)^2=y^2+8y+16\).
Маємо \(y^2+8y

5) Розкриємо квадрат зліва:
\((2a-5)^2=4a^2-20a+25\).
Тоді
\(4a^2-20a+25\le 6a^2-20a+25\).
Після скорочення та перенесення:
\(0\le 2a^2\).
Оскільки \(a^2\ge0\), то \(2a^2\ge0\). Нерівність правильна для будь-якого \(a\).

6) Перенесемо все в одну частину:
\(a^2-4a+4\ge0\).
Ліва частина є квадратом різниці:
\((a-2)^2\ge0\).
Квадрат будь-якого дійсного числа невід’ємний, тому нерівність правильна для будь-якого \(a\).

Відповідь: усі шість нерівностей правильні при будь-яких дійсних значеннях відповідних змінних.