1) (1/ (x + y) - x / (y^2 + xy)) * (y^2 / (x^3 - xy^2) - y / (x^2 - xy))

Задание 1. Упрощение выражения

Давай разберёмся с этим примером по шагам!

Шаг 1: Преобразуем первую скобку

Сначала приведём дроби внутри первой скобки к общему знаменателю. Заметим, что \( y^2 + xy = y(y + x) \). Значит, общий знаменатель для \( \frac{1}{x+y} \) и \( \frac{x}{y(x+y)} \) будет \( y(x+y) \).

$$ \frac{1}{x+y} - \frac{x}{y(x+y)} = \frac{y}{y(x+y)} - \frac{x}{y(x+y)} = \frac{y-x}{y(x+y)} $$

Шаг 2: Преобразуем вторую скобку

Теперь займёмся второй скобкой. Разложим знаменатели:

\( x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y) \)

\( x^2 - xy = x(x-y) \)

Общий знаменатель для \( \frac{y^2}{x(x-y)(x+y)} \) и \( \frac{y}{x(x-y)} \) будет \( x(x-y)(x+y) \).

$$ \frac{y^2}{x(x-y)(x+y)} - \frac{y}{x(x-y)} = \frac{y^2}{x(x-y)(x+y)} - \frac{y(x+y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{y^2 - y(x+y)}{x(x-y)(x+y)} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{y^2 - xy - y^2}{x(x-y)(x+y)} = \frac{-xy}{x(x-y)(x+y)} $$

Сократим \( x \):

$$ \frac{-y}{(x-y)(x+y)} $$

Шаг 3: Перемножим результаты

Теперь перемножим то, что получилось после преобразования каждой скобки:

$$ \left( \frac{y-x}{y(x+y)} \right) \cdot \left( \frac{-y}{(x-y)(x+y)} \right) $$

Заметим, что \( y-x = -(x-y) \). Подставим это:

$$ \left( \frac{-(x-y)}{y(x+y)} \right) \cdot \left( \frac{-y}{(x-y)(x+y)} \right) $$

Теперь можно сокращать:

$$ \frac{-1}{y(x+y)} \cdot \frac{-y}{(x+y)} = \frac{(-1) \cdot (-y)}{y(x+y)(x+y)} = \frac{y}{y(x+y)^2} $$

Сократим \( y \):

$$ \frac{1}{(x+y)^2} $$

Итоговый ответ:

Мы упростили выражение до \( \frac{1}{(x+y)^2} \).

Ответ: $$ \frac{1}{(x+y)^2} $$