1.1. В треугольнике ABC ∠A = 100°, ∠C = 40°. a) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК — биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

Решение:

а) Доказательство того, что треугольник АВС равнобедренный:

1. Сначала найдём угол B в треугольнике ABC. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C \)
3. \( \angle B = 180° - 100° - 40° = 40° \)
4. Так как \( \angle B = \angle C = 40° \), то треугольник ABC является равнобедренным.
5. Боковые стороны равнобедренного треугольника — это стороны, лежащие напротив равных углов. В данном случае это стороны AB и AC, так как они лежат напротив углов C и B соответственно.

б) Нахождение углов, которые образует биссектриса СК со стороной АВ:

1. Биссектриса СК делит угол C пополам.
2. \( \angle SCK = \angle KCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{40°}{2} = 20° \)
3. Рассмотрим треугольник BKC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
4. \( \angle BKC = 180° - \angle B - \angle KCB \)
5. \( \angle BKC = 180° - 40° - 20° = 120° \)
6. Угол AKC является смежным к углу BKC, поэтому их сумма равна 180°.
7. \( \angle AKC = 180° - \angle BKC = 180° - 120° = 60° \)
8. Таким образом, биссектриса СК образует со стороной АВ углы ∠AKC = 60° и ∠BKC = 120°.

Ответ: а) Треугольник АВС равнобедренный, боковые стороны — AB и AC. б) Углы равны 60° и 120°.