1. (1 балл) Вычислите: √2 sin+tg 4 4 2. (1 балл) На рисунке жирными точками показана цена золота, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена золота в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода цена золота была меньше 980 рублей за грамм. 3. (1 балл) Найдите 5 sin a, если cos a = 2√6 5 αε (3; 2π). 4. (1 балл) Найдите корень уравнения sin (x+1)= 1 2 5. (1 балл) Найдите производную функции в точке хо=1: y = x³-3x + 2. 6. (1 балл) Вычислите интеграл: (x² + 4x - 1)dx 7. (1 балл) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые) 8. (1 балл) На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображена трапеция. Найдите её площадь 9. (1 балл) Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -t4 + 6t³-4t²+5t-5 (где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с. 10. (1 балл) Найдите координаты векторов: -26, -0,5б, 2а+б, аб, если: а{1; 3; 5), Б {-2; 4; 2).

Решение:

1. \( \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0 \)
2. По графику, цена золота была меньше 980 рублей 4 дня (3, 13, 21, 28 октября).
3. Так как \( \alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \), то \( \sin \alpha < 0 \). \( \sin \alpha = - \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = - \sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2} = - \sqrt{1 - \frac{4 \cdot 6}{25}} = - \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = - \sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5} \). \( 5 \sin \alpha = 5 \cdot (-\frac{1}{5}) = -1 \).
4. \( \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \). \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \). \( x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \).
5. \( y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3 \). \( y'(1) = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0 \).
6. \( \int_{0}^{3} (x^2 + 4x - 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} + 2(3)^2 - 3 - (0) = 9 + 18 - 3 = 24 \).
7. Объем многогранника равен сумме объемов двух призм: \( V = V_1 + V_2 \). \( V_1 = \text{площадь основания}_1 \cdot \text{высота} = (3 \cdot 2) \cdot 3 = 18 \). \( V_2 = \text{площадь основания}_2 \cdot \text{высота} = (2 \cdot 2) \cdot 3 = 12 \). \( V = 18 + 12 = 30 \).
8. Площадь трапеции: \( S = \frac{a+b}{2}h \). \( a=5 \), \( b=2 \), \( h=2 \). \( S = \frac{5+2}{2} \cdot 2 = 7 \).
9. Скорость \( v(t) = x'(t) = (-t^4 + 6t^3-4t²+5t-5)' = -4t^3 + 18t^2 - 8t + 5 \). \( v(3) = -4(3)^3 + 18(3)^2 - 8(3) + 5 = -4(27) + 18(9) - 24 + 5 = -108 + 162 - 24 + 5 = 35 \).
10. \( \vec{a} = \{1; 3; 5\} \), \( \vec{b} = \{-2; 4; 2\} \).
11. \( -2\vec{a} = -2\{1; 3; 5\} = \{-2; -6; -10\} \).
12. \( -0.5\vec{b} = -0.5\{-2; 4; 2\} = \{1; -2; -1\} \).
13. \( 2\vec{a} + \vec{b} = 2\{1; 3; 5\} + \{-2; 4; 2\} = \{2; 6; 10\} + \{-2; 4; 2\} = \{0; 10; 12\} \).
14. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 2 = -2 + 12 + 10 = 20 \).

Ответ: 1. 0; 2. 4 дня; 3. -1; 4. \( x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n \) или \( x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \); 5. 0; 6. 24; 7. 30; 8. 7; 9. 35 м/с; 10. \( -2\vec{a} = \{-2; -6; -10\} \); \( -0.5\vec{b} = \{1; -2; -1\} \); \( 2\vec{a} + \vec{b} = \{0; 10; 12\} \); \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 20 \).