1. (1 балл) В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны. На стороне АС взята точка М, равноудалённая от прямых АВ и ВС. Найдите угол АСВ, если ∠ABM = 35°.

Решение:

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, значит, треугольник ABC — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle ABC \).

Пусть \( \angle BAC = \angle ABC = \alpha \). В треугольнике ABC: \( \angle ACB = 180° - 2\alpha \).

Точка M равноудалена от прямых AB и BC. Это значит, что M лежит на биссектрисе угла ABC. Однако, M лежит на стороне AC. Это возможно только в том случае, если M является вершиной угла ABC, что противоречит условию, что M - точка на стороне AC. Скорее всего, в условии имелось в виду, что M равноудалена от сторон AB и BC, то есть M лежит на биссектрисе угла ABC. В этом случае, так как M лежит на AC, то M является точкой пересечения биссектрисы угла ABC и стороны AC.

Если M лежит на биссектрисе угла ABC, то \( \angle ABM = \angle MBC = \frac{1}{2} \angle ABC \).

По условию \( \angle ABM = 35° \).

Следовательно, \( \angle ABC = 2 \cdot \angle ABM = 2 \cdot 35° = 70° \).

Так как треугольник ABC равнобедренный с AC = BC, то \( \angle BAC = \angle ABC = 70° \).

Теперь найдём угол ACB:

\( \angle ACB = 180° - (\angle BAC + \angle ABC) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40° \).

Однако, в условии сказано, что M лежит на стороне AC. Если M - точка на биссектрисе угла ABC, то M может лежать на AC только если угол ABC будет настолько мал, что биссектриса пересечет AC. Но если M лежит на AC, и M равноудалена от AB и BC, то M должна быть вершиной угла ABC, что не так.

Перечитаем условие: "На стороне АС взята точка М, равноудалённая от прямых АВ и ВС". Это означает, что расстояние от M до прямой AB равно расстоянию от M до прямой BC. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это биссектрисы углов, образованных этими прямыми. Таким образом, точка M лежит на биссектрисе угла ABC.

Мы имеем: \( AC = BC \) (треугольник ABC равнобедренный). \( \angle BAC = \angle ABC \). \( \angle ABM = 35° \).

Если M лежит на биссектрисе \( \angle ABC \), то \( \angle ABM = \angle MBC = 35° \).

Значит, \( \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = 35° + 35° = 70° \).

Так как \( AC = BC \), то \( \angle BAC = \angle ABC = 70° \).

Тогда \( \angle ACB = 180° - (\angle BAC + \angle ABC) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40° \).

Проверим, может ли точка M лежать на стороне AC. Если \( \angle ABC = 70° \), то биссектриса делит его на два угла по 35°. Если \( \angle BAC = 70° \), то угол A достаточно большой. Биссектриса угла B будет пересекать сторону AC.

Теперь рассмотрим другой вариант трактовки: M равноудалена от прямых AB и BC, при этом M лежит на AC. Если M лежит на AC, и M равноудалена от AB и BC, то M должна быть вершиной угла ABC, что невозможно, так как M - точка на стороне AC.

Вернемся к первому варианту, который является стандартным пониманием таких задач. Точка M лежит на биссектрисе угла ABC.

Пусть \( \angle BAC = \angle ABC = x \).

Поскольку M лежит на биссектрисе \( \angle ABC \), то \( \angle ABM = \angle MBC = 35° \). Это означает, что \( \angle ABC = 70° \).

Так как \( \angle BAC = \angle ABC \), то \( \angle BAC = 70° \).

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.

\( \angle ACB = 180° - (\angle BAC + \angle ABC) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40° \).

Ответ: 40°.