1) 1 - 5 sin x + 2 cos^2 x = 0;

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе.

Перед нами тригонометрическое уравнение: 1 - 5 sin x + 2 cos² x = 0.

Чтобы его решить, будем использовать основное тригонометрическое тождество: sin² x + cos² x = 1. Из него следует, что cos² x = 1 - sin² x.

Подставим это в наше уравнение:

• \[ 1 - 5 \sin x + 2 (1 - \sin^2 x) = 0 \]

Теперь раскроем скобки и упростим:

• \[ 1 - 5 \sin x + 2 - 2 \sin^2 x = 0 \]
• \[ -2 \sin^2 x - 5 \sin x + 3 = 0 \]

Умножим всё на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным:

• \[ 2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0 \]

Теперь это похоже на квадратное уравнение, если мы сделаем замену: пусть t = sin x. Тогда получим:

• \[ 2t^2 + 5t - 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac
• D = 5² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49
• √ D = 7

Найдем корни:

• \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 * 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
• \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 * 2} = \frac{-12}{4} = -3 \]

Теперь вернемся к нашей замене t = sin x:

1. sin x = 1/2
• Это стандартное значение. Решением будет x = π/6 + 2πk и x = 5π/6 + 2πk, где k - любое целое число.
2. sin x = -3
• Это значение невозможно, так как синус может принимать значения только от -1 до 1.

Ответ: x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z (Z - множество целых чисел).