040.14. Найдите скорость изменения функции y = f(x) в указанной точке: a) f(x) = x², x₀ = 2; б) f(x) = 1/x, x₀ = -1; в) f(x) = x², x₀ = -2; г) f(x) = 1/x, x₀ = -0,5.

Решение:

Скорость изменения функции в точке — это значение её производной в этой точке.

a) f(x) = x², x₀ = 2

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (x^2)' = 2x \).
2. Подставим значение \( x_0 = 2 \) в производную: \( f'(2) = 2 \cdot 2 = 4 \).

б) f(x) = 1/x, x₀ = -1

1. Представим функцию в виде \( f(x) = x^{-1} \).
2. Найдем производную функции: \( f'(x) = (-1) \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \).
3. Подставим значение \( x_0 = -1 \) в производную: \( f'(-1) = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1 \).

в) f(x) = x², x₀ = -2

1. Производная функции: \( f'(x) = 2x \).
2. Подставим значение \( x_0 = -2 \) в производную: \( f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4 \).

г) f(x) = 1/x, x₀ = -0,5

1. Производная функции: \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \).
2. Подставим значение \( x_0 = -0,5 = -\frac{1}{2} \) в производную: \( f'(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -4 \).

Ответ: а) 4; б) -1; в) -4; г) -4.