01. (Для работы в парах.) Задайте формулой прямую пропорциональность, график которой симметричен графику функции y = 9x: а) относительно оси х; б) относительно оси у. 1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б) и выполните их. 2) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.

Решение:

Прямая пропорциональность — это функция вида y = kx, где k — коэффициент пропорциональности. График такой функции — это прямая, проходящая через начало координат (0,0).

а) Симметрично относительно оси x:

Если график функции y = f(x) симметричен относительно оси x, то для каждого значения x из области определения, если точка (x, y) принадлежит графику, то точка (x, -y) также должна принадлежать графику. Для прямой пропорциональности y = kx, если мы заменим y на -y, получим -y = kx, что эквивалентно y = -kx. Таким образом, нам нужна функция, график которой симметричен графику y = 9x относительно оси x. Это будет y = -9x.

б) Симметрично относительно оси y:

Если график функции y = f(x) симметричен относительно оси y, то для каждого значения x из области определения, если точка (x, y) принадлежит графику, то точка (-x, y) также должна принадлежать графику. Для прямой пропорциональности y = kx, если мы заменим x на -x, получим y = k(-x), что эквивалентно y = -kx. Следовательно, если мы хотим, чтобы график был симметричен относительно оси y, нам нужно, чтобы при замене x на -x функция оставалась той же. Это возможно только для функции y = 0 (ось x). Однако, в контексте прямой пропорциональности, симметрия относительно оси y означает, что при изменении знака x, значение y также меняет знак. Другими словами, функция должна быть нечетной. Функция y = 9x уже является нечетной, так как f(-x) = 9(-x) = -9x = -f(x). График нечетной функции всегда симметричен относительно начала координат. Если же мы ищем функцию, симметричную y = 9x относительно оси Y, то это та же самая функция y = 9x, так как она уже является нечетной и ее график симметричен относительно начала координат. Если вопрос подразумевает, что график должен остаться самим собой после отражения относительно оси Y, это возможно только для четных функций. Но прямая пропорциональность y = kx (кроме y=0) не является ни четной, ни нечетной в строгом смысле для симметрии относительно оси Y, кроме как для начала координат. В контексте прямых пропорциональностей, симметрия относительно оси Y часто интерпретируется как сохранение формы при инверсии знака x, что приводит к той же функции, если она нечетная. Поэтому, для симметрии относительно оси y, функция остается той же: y = 9x.

В контексте задания:

График функции y = 9x является прямой, проходящей через начало координат. Симметрия относительно начала координат уже присуща этой функции.

а) Относительно оси x: Если точка (x, y) лежит на графике y = 9x, то точка (x, -y) должна лежать на симметричном графике. Подставляя (x, -y) в уравнение, получаем -y = 9x, или y = -9x. Таким образом, формула: y = -9x.

б) Относительно оси y: Если точка (x, y) лежит на графике y = 9x, то точка (-x, y) должна лежать на симметричном графике. Подставляя (-x, y) в уравнение, получаем y = 9(-x), или y = -9x. Однако, если мы отражаем график y = 9x относительно оси Y, мы получаем тот же самый график, так как функция y = 9x является нечетной (симметричной относительно начала координат). Чтобы сохранить симметрию относительно оси Y, функция должна быть четной, но прямая пропорциональность (кроме y=0) не является четной. Чаще всего, когда речь идет о симметрии относительно оси Y для прямой пропорциональности, подразумевается, что функция должна оставаться самой собой. Это значит, что f(-x) = f(x). Для y = kx это возможно только если k = 0, т.е. y = 0. Но задача просит задать формулу прямой пропорциональности, график которой симметричен графику y = 9x. Если мы отразим y=9x относительно оси Y, то получим y = -9x. Если же мы хотим, чтобы график был симметричен оси Y, то это та же функция, y = 9x, потому что нечетные функции имеют симметрию относительно начала координат, но не относительно оси Y, если не являются тождественно нулевыми. Часто в таких задачах подразумевается, что функция должна оставаться неизменной при отражении относительно оси Y, что для y = kx возможно только для y = 0. Если же мы хотим найти функцию, которая при отражении относительно оси Y даст исходную, то это y = -9x. Учитывая, что y=9x является нечетной функцией (симметричной относительно начала координат), ее отражение относительно оси Y даст y = -9x. Однако, если требуется, чтобы график оставался прежним после отражения относительно оси Y, это возможно только для четных функций, а y = 9x не является четной. Поэтому, если вопрос подразумевает, что f(-x) = f(x), то для y=kx это возможно только если k=0. Если же вопрос подразумевает, что график y=9x отражается относительно оси Y, то мы получаем y=-9x. В контексте учебников, для прямых пропорциональностей, симметричных оси Y, часто приводят случай y=0, либо говорят, что это сама функция y=kx, если она нечетная. Для ясности, отражение графика y=9x относительно оси Y приводит к графику y=-9x. Если же задача требует, чтобы график сам по себе был симметричен оси Y, то это y=0. Однако, y=0 не является прямой пропорциональностью, отражающей y=9x. Наиболее логичным ответом, учитывая симметрию относительно начала координат, является то, что для симметрии относительно оси Y, функция должна быть четной. Так как y=9x нечетная, её отражение относительно оси Y будет y = -9x. Если же задача хочет, чтобы график y=9x остался неизменным при отражении относительно оси Y, это невозможно, кроме случая y=0. Исходя из стандартных задач, если график функции f(x) симметричен графику y=9x относительно оси Y, то это значит, что f(-x) = 9(-x) = -9x. Тогда f(x) = -(-9x) = 9x. Однако, это некорректная логика. Правильный подход: Если график функции g(x) симметричен графику f(x) = 9x относительно оси Y, то g(x) = f(-x). Таким образом, g(x) = 9(-x) = -9x.

Правильные формулы:

• а) y = -9x
• б) y = -9x

Пояснение к пункту б): График прямой пропорциональности y = kx симметричен относительно начала координат. Симметрия относительно оси Y означает, что f(-x) = f(x). Для функции y = 9x, f(-x) = -9x, что не равно f(x) = 9x (кроме x=0). Поэтому, если график симметричен графику y = 9x относительно оси Y, то это будет другая функция. Эта функция получается заменой x на -x в исходном уравнении: y = 9(-x) = -9x. Таким образом, формула, график которой симметричен графику y = 9x относительно оси Y, это y = -9x.

Ответ:

• а) y = -9x
• б) y = -9x