[0,5; 1]. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = √x + 4х в точке с абсциссой х₂ =1.

Решение:

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции, нам нужно знать две вещи: значение функции в точке касания и наклон касательной (производную) в этой точке.

1. Находим значение функции в точке x = 1:
   Подставляем x = 1 в нашу функцию f(x) = \(\) \(\sqrt{x} + 4x\):
   \[ f(1) = \sqrt{1} + 4 \times 1 = 1 + 4 = 5 \]Значит, точка касания имеет координаты (1, 5).
2. Находим производную функции:
   Производная функции \(f(x) = \sqrt{x} + 4x\) находится так:
   \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(4x) \]
   Производная от \(\sqrt{x} = x^{1/2}\) равна \(\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
   Производная от \(4x\) равна \(4\).
   Итак, \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 4\).
3. Находим значение производной в точке x = 1 (это наклон касательной):
   \[ f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} + 4 = \frac{1}{2} + 4 = 4.5 \]Наклон касательной равен 4.5.
4. Составляем уравнение касательной по формуле \(y - y_0 = m(x - x_0)\), где \((x_0, y_0)\) — точка касания, а \(m\) — наклон касательной.
   У нас \(x_0 = 1\), \(y_0 = 5\) и \(m = 4.5\).
   \[ y - 5 = 4.5(x - 1) \]
   Раскроем скобки:
   \[ y - 5 = 4.5x - 4.5 \]
   Перенесем 5 в правую часть:
   \[ y = 4.5x - 4.5 + 5 \]
   \[ y = 4.5x + 0.5 \]

Ответ: Уравнение касательной: \( y = 4.5x + 0.5 \)