№2. Вычислите интеграл: 2 a) ∫ (9x² - x - 2) dx -1 π/3 6) ∫ sin 3x dx 9 0 4x B) ∫ 1.5 dx π/4 x 8 r) 「 dx 2 x/% sin² 2x π/6 1 д) (√2 + x dx -5

\[\int (9x^2 - x - 2) dx = 9 \int x^2 dx - \int x dx - 2 \int dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + C = 3x^3 - \frac{x^2}{2} - 2x + C\]

\[\int_{-1}^{2} (9x^2 - x - 2) dx = \left[3x^3 - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_{-1}^{2} = \left(3(2)^3 - \frac{(2)^2}{2} - 2(2)\right) - \left(3(-1)^3 - \frac{(-1)^2}{2} - 2(-1)\right)\]

\[= (3(8) - \frac{4}{2} - 4) - (3(-1) - \frac{1}{2} + 2) = (24 - 2 - 4) - (-3 - 0.5 + 2) = 18 - (-1.5) = 18 + 1.5 = 19.5\]

\[\int \sin 3x dx = -\frac{1}{3} \cos 3x + C\]

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin 3x dx = \left[-\frac{1}{3} \cos 3x\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\frac{1}{3} \cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) - \left(-\frac{1}{3} \cos(3 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{3} \cos(\pi) + \frac{1}{3} \cos(0)\]

\[= -\frac{1}{3} (-1) + \frac{1}{3} (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]

\[\int_{1}^{9} \frac{4x}{x^{1.5}} dx = 4 \int_{1}^{9} \frac{x}{x^{1.5}} dx = 4 \int_{1}^{9} x^{-0.5} dx\]

\[4 \int x^{-0.5} dx = 4 \cdot \frac{x^{0.5}}{0.5} + C = 8 \sqrt{x} + C\]

\[\int_{1}^{9} \frac{4x}{x^{1.5}} dx = \left[8 \sqrt{x}\right]_{1}^{9} = 8 \sqrt{9} - 8 \sqrt{1} = 8(3) - 8(1) = 24 - 8 = 16\]

\[\int \frac{8}{\sin^2 2x} dx = 8 \int \frac{1}{\sin^2 2x} dx = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2} \cot 2x\right) + C = -4 \cot 2x + C\]

\[\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{8}{\sin^2 2x} dx = \left[-4 \cot 2x\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} = -4 \cot(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \left(-4 \cot(2 \cdot \frac{\pi}{6})\right) = -4 \cot(\frac{\pi}{2}) + 4 \cot(\frac{\pi}{3})\]

\[= -4(0) + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 0 + \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}\]

\[\int \sqrt{2 + x} dx = \int (2 + x)^{\frac{1}{2}} dx = \frac{(2 + x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} (2 + x)^{\frac{3}{2}} + C\]

\[\int_{-5}^{1} \sqrt{2 + x} dx = \left[\frac{2}{3} (2 + x)^{\frac{3}{2}}\right]_{-5}^{1} = \frac{2}{3} (2 + 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (2 + (-5))^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (-3)^{\frac{3}{2}}\]

Заметим, что \((-3)^{\frac{3}{2}}\) не определено в действительных числах, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Однако, если рассматривать комплексные числа, то:
\[\frac{2}{3} (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (-3)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} (3 \sqrt{3}) - \frac{2}{3} (-3 \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} + 2i \sqrt{3}\]