№2 Вычислить площадь:

Question

Вопрос:

№2 Вычислить площадь:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

К сожалению, для точного вычисления площади, ограниченной графиками функций, представленных на изображении, необходимы дополнительные данные или уточнения. На изображении представлены следующие графики:

1. График функции $$y = \frac{4}{x}$$ на отрезке от 1 до 4.

2. График функции $$y = -x^2 + 5$$ и прямой $$y = x + 3$$.

Для графика функции $$y = \frac{4}{x}$$ необходимо вычислить интеграл от 1 до 4:

$$S_1 = \int_{1}^{4} \frac{4}{x} dx$$ $$S_1 = 4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} dx = 4 [\ln(x)]_1^4 = 4(\ln(4) - \ln(1)) = 4 \ln(4) = 4 \ln(2^2) = 8 \ln(2)$$

Для вычисления площади между графиками $$y = -x^2 + 5$$ и $$y = x + 3$$, нужно сначала найти точки пересечения этих графиков. Решим уравнение:

$$-x^2 + 5 = x + 3$$ $$x^2 + x - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$ $$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Теперь вычислим интеграл разности функций на отрезке [-2, 1]:

$$S_2 = \int_{-2}^{1} ((-x^2 + 5) - (x + 3)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx$$ $$S_2 = [-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x]_{-2}^{1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2))$$ $$S_2 = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + 2 + 4 = -\frac{9}{3} - \frac{1}{2} + 8 = -3 - \frac{1}{2} + 8 = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$

Ответ: Площадь под графиком $$y = \frac{4}{x}$$ от 1 до 4 равна $$8 \ln(2)$$, а площадь между графиками $$y = -x^2 + 5$$ и $$y = x + 3$$ равна 4.5.