№4 В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найти АС и расстояние от точки D до стороны ВС.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Так как ∠A = 90° и ∠B = 60°, то ∠C = 180° - 90° - 60° = 30°.
2. Рассмотрим треугольник DBC. ∠DBC = 30°, ∠C = 30°, следовательно, треугольник DBC равнобедренный (DB = DC).
3. ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 60° - 30° = 30°.
4. Рассмотрим треугольник ABD. ∠A = 90°, ∠ABD = 30°, следовательно, ∠ADB = 180° - 90° - 30° = 60°.
5. Проведем высоту DH в треугольнике ABD. DH является катетом напротив угла 30° в прямоугольном треугольнике ADH, следовательно, DH = AD / 2 = 4 / 2 = 2 см.
6. Найдем BD. В прямоугольном треугольнике ADH: AD = 4 см, DH = 2 см. Тогда sin(∠DAH) = DH / AD = 2 / 4 = 1/2. Следовательно, ∠DAH = 30°, а ∠ADH = 60°. AH = AD * cos(30°) = 4 * (√3 / 2) = 2√3 см.
7. Из прямоугольного треугольника BDH: sin(∠DBH) = DH / BD = 2 / BD. ∠DBH = 30°, sin(30°) = 1/2. Следовательно, 1/2 = 2 / BD, BD = 4 см.
8. Так как DB = DC, то DC = 4 см.
9. AC = AD + DC = 4 + 4 = 8 см.

Ответ: AC = 8 см, расстояние от точки D до стороны BC равно 2 см.