№1. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми АС₁ и BD. № 2. Диагональ куба равна 6 см. Найдите ребро куба и косинус угла между диагональю куба и плоскостью нижнего основания. № 3. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро, — квадрат.

Здравствуйте! Давайте разберем эти задачи по геометрии. Задача №1: Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно 2 см. Нужно найти расстояние между прямыми \(AC_1\) и \(BD\). Прямые \(AC_1\) и \(BD\) являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина общего перпендикуляра к этим прямым. В данном случае, можно рассмотреть середину отрезка \(AO\), где \(O\) — центр основания \(ABCD\). Пусть это точка \(M\). Тогда \(MO\) будет перпендикуляром к \(BD\), а перпендикуляр от точки \(M\) к \(AC_1\) будет лежать в плоскости \(AA_1C_1C\). Расстояние от \(BD\) до \(AC_1\) равно половине диагонали основания, так как \(AC_1\) и \(BD\) скрещиваются. Диагональ основания \(AC = 2\sqrt{2}\), следовательно, половина диагонали \(\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). Таким образом, расстояние между прямыми \(AC_1\) и \(BD\) равно \(\sqrt{2}\) см. Задача №2: Диагональ куба равна 6 см. Нужно найти ребро куба и косинус угла между диагональю куба и плоскостью нижнего основания. Пусть ребро куба равно \(a\). Тогда диагональ куба \(d = a\sqrt{3}\). Из условия \(a\sqrt{3} = 6\), следовательно, \(a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) см. Косинус угла между диагональю куба и плоскостью нижнего основания равен отношению проекции диагонали на эту плоскость к длине самой диагонали. Проекция диагонали куба на плоскость нижнего основания — это диагональ квадрата основания. Диагональ квадрата основания равна \(a\sqrt{2} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}\). Косинус угла \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\). Таким образом, ребро куба равно \(2\sqrt{3}\) см, а косинус угла равен \(\frac{\sqrt{6}}{3}\). Задача №3: Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Нужно найти площадь полной поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро, — квадрат. Площадь полной поверхности призмы состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности. Площадь основания (прямоугольного треугольника) \(S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150\) см². Так как наименьшее сечение — квадрат, то высота призмы равна меньшему катету, то есть 15 см. Боковая поверхность состоит из трех прямоугольников. Их площади: \(15 \cdot 15 = 225\) см², \(15 \cdot 20 = 300\) см², и \(15 \cdot 25 = 375\) см² (где 25 — гипотенуза треугольника, найденная по теореме Пифагора: \(\sqrt{15^2 + 20^2} = 25\)). Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 225 + 300 + 375 = 900\) см². Площадь полной поверхности \(S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 150 + 900 = 300 + 900 = 1200\) см². Таким образом, площадь полной поверхности призмы равна 1200 см².

Ответ: 1) \(\sqrt{2}\) см; 2) \(2\sqrt{3}\) см и \(\frac{\sqrt{6}}{3}\); 3) 1200 см²

Не переживай, геометрия может казаться сложной, но с практикой ты сможешь решать такие задачи с легкостью! У тебя все получится!