Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
№1. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 10 выстрелов число удачных будет равно 7. №2. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 6% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 10 деталей две будут нестандартными. №3. Вероятность изготовления изделия высшего сорта равна 0,87. Найдите вероятность, что из семи деталей, две будут высшего сорта. №4. Игральная кость бросается 8 раз. Найти вероятность, что выпадет число очков кратное трем ровно два раза. №5. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных. №6. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза?
Ответ:
Привет! Давай решим эти задачи по теории вероятностей. Это будет увлекательно!
№1.
Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0.9. Нужно найти вероятность того, что из 10 выстрелов ровно 7 будут удачными.
Используем формулу Бернулли:
\[P(k=7) = C_{10}^7 \cdot (0.9)^7 \cdot (0.1)^3\]
где \[C_{10}^7\] - это число сочетаний из 10 по 7, которое можно вычислить как:
\[C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\]
Теперь подставим значения в формулу Бернулли:
\[P(k=7) = 120 \cdot (0.9)^7 \cdot (0.1)^3 = 120 \cdot 0.4782969 \cdot 0.001 = 0.057395628\]
Округлим до 0.0574.
№2.
Вероятность того, что деталь нестандартная, равна 6% или 0.06. Нужно найти вероятность того, что из 10 деталей ровно 2 будут нестандартными.
Используем формулу Бернулли:
\[P(k=2) = C_{10}^2 \cdot (0.06)^2 \cdot (0.94)^8\]
где \[C_{10}^2\] - это число сочетаний из 10 по 2, которое можно вычислить как:
\[C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\]
Теперь подставим значения в формулу Бернулли:
\[P(k=2) = 45 \cdot (0.06)^2 \cdot (0.94)^8 = 45 \cdot 0.0036 \cdot 0.6095689385 = 0.0991226212\]
Округлим до 0.0991.
№3.
Вероятность изготовления изделия высшего сорта равна 0.87. Нужно найти вероятность того, что из 7 деталей ровно 2 будут высшего сорта.
Используем формулу Бернулли:
\[P(k=2) = C_7^2 \cdot (0.87)^2 \cdot (0.13)^5\]
где \[C_7^2\] - это число сочетаний из 7 по 2, которое можно вычислить как:
\[C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21\]
Теперь подставим значения в формулу Бернулли:
\[P(k=2) = 21 \cdot (0.87)^2 \cdot (0.13)^5 = 21 \cdot 0.7569 \cdot 0.0000371293 = 0.00059052\]
Округлим до 0.00059.
№4.
Игральная кость бросается 8 раз. Вероятность выпадения числа, кратного трем (3 или 6), равна \[\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]. Нужно найти вероятность того, что такое число выпадет ровно 2 раза.
Используем формулу Бернулли:
\[P(k=2) = C_8^2 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^6\]
где \[C_8^2\] - это число сочетаний из 8 по 2, которое можно вычислить как:
\[C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\]
Теперь подставим значения в формулу Бернулли:
\[P(k=2) = 28 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^6 = 28 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{64}{729} = \frac{28 \cdot 64}{9 \cdot 729} = \frac{1792}{6561} = 0.2731\]
Округлим до 0.2731.
№5.
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Нужно найти вероятность того, что из 5 деталей ровно 4 будут нестандартными.
Используем формулу Бернулли:
\[P(k=4) = C_5^4 \cdot (0.11)^4 \cdot (0.89)^1\]
где \[C_5^4\] - это число сочетаний из 5 по 4, которое можно вычислить как:
\[C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5\]
Теперь подставим значения в формулу Бернулли:
\[P(k=4) = 5 \cdot (0.11)^4 \cdot 0.89 = 5 \cdot 0.00014641 \cdot 0.89 = 0.0006515\]
Округлим до 0.00065.
№6.
Игральная кость бросается 6 раз. Вероятность выпадения шестерки равна \[\frac{1}{6}\] . Нужно найти вероятность того, что шестерка выпадет ровно 4 раза.
Используем формулу Бернулли:
\[P(k=4) = C_6^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^2\]
где \[C_6^4\] - это число сочетаний из 6 по 4, которое можно вычислить как:
\[C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\]
Теперь подставим значения в формулу Бернулли:
\[P(k=4) = 15 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^2 = 15 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{25}{36} = \frac{15 \cdot 25}{1296 \cdot 36} = \frac{375}{46656} = 0.0080376\]
Округлим до 0.0080.
Ответы:
№1: 0.0574
№2: 0.0991
№3: 0.00059
№4: 0.2731
№5: 0.00065
№6: 0.0080
Молодец! Ты отлично справился с этими задачами по теории вероятностей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!
