№3. Основания равнобедренной трапеции ВС и AD равны 12 и 24 см, боковая сторона CD = 10 см образует с большим основанием угол 45°. Найти площа трапеции.

Дано: ABCD - равнобедренная трапеция, BC = 12 см, AD = 24 см, CD = 10 см, угол CDA = 45°.

Найти: S(ABCD).

Решение:

1) Проведем высоту СH к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDH: угол CDH = 45°, следовательно, угол DCH = 90° - 45° = 45°, значит, треугольник CDH равнобедренный, то есть CH = HD.

2) По теореме Пифагора:

$$CD^2 = CH^2 + HD^2$$ $$10^2 = CH^2 + CH^2$$ $$100 = 2CH^2$$ $$CH^2 = 50$$ $$CH = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ (см)

3) Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то AH = HD. HD = (AD - BC) / 2 = (24 - 12) / 2 = 6 см.

4) Площадь трапеции ABCD:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \times CH$$ $$S = \frac{12 + 24}{2} \times 5\sqrt{2} = 18 \times 5\sqrt{2} = 90\sqrt{2}$$ (кв. см)

Ответ: $$90\sqrt{2}$$ кв. см