№1. Найдите ∠BEA, СЕ, АС

Рассмотрим треугольник ABC. Из условия известно, что угол A равен 30 градусам, а угол C прямой (90 градусов), так как треугольник прямоугольный. Следовательно, угол B равен: $$180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$ По условию BE - биссектриса угла B. Значит, угол CBE равен углу ABE и равен половине угла B: $$ \angle CBE = \angle ABE = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} $$ Рассмотрим треугольник CBE. В этом треугольнике известны два угла: угол CBE = 30 градусов и угол C = 90 градусов. Следовательно, угол BEA (который является внешним углом для треугольника CBE) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $$ \angle BEA = \angle CBE + \angle C = 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ} $$ В треугольнике ABE угол ABE = 30 градусам, а угол A = 30 градусам. Значит, треугольник ABE - равнобедренный, и AE = BE. Так как BE = 6 см, то и AE = 6 см. В прямоугольном треугольнике ABC катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. То есть BC = 1/2 * AB. Пусть AC = x. Выразим AB через AC и BC используя теорему Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$AB^2 = AC^2 + (\frac{1}{2}AB)^2$$ $$AB^2 = x^2 + \frac{1}{4}AB^2$$ $$\frac{3}{4}AB^2 = x^2$$ $$AB^2 = \frac{4}{3}x^2$$ $$AB = \frac{2}{\sqrt{3}}x$$ Тогда, $$BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} * \frac{2}{\sqrt{3}}x = \frac{1}{\sqrt{3}}x$$. CE = AC - AE, значит CE = x - 6. В треугольнике CBE: $$ tg(\angle CBE) = \frac{CE}{BC} $$ $$ tg(30^{\circ}) = \frac{x-6}{\frac{x}{\sqrt{3}}} $$ $$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x-6}{\frac{x}{\sqrt{3}}} $$ $$ \frac{x}{\sqrt{3}} * \frac{1}{\sqrt{3}} = x - 6 $$ $$ \frac{x}{3} = x - 6 $$ $$ x = 3x - 18 $$ $$ 2x = 18 $$ $$ x = 9 $$ То есть, AC = 9 см, CE = AC - AE = 9 - 6 = 3 см. Ответ: ∠BEA = 120°, CE = 3 см, AC = 9 см.