Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
№ 2 КN – касательная к окружности. Вычислить углы М, MON, MNO.
Ответ:
Ответ: ∠M = 26°, ∠MON = 104°, ∠MNO = 38°
Краткое пояснение: Угол между касательной и хордой равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Разбираемся:
- Угол между касательной и хордой равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, угол M равен углу между касательной KN и хордой MN, то есть ∠M = 26°.
- Центральный угол MON в два раза больше угла M, то есть ∠MON = 2 * 26° = 52°. Но так как OM = ON (радиусы), то треугольник MON равнобедренный, и углы при основании равны: ∠OMN = ∠ONM.Сумма углов в треугольнике MON равна 180°, поэтому ∠MON = 180° - 2 * ∠M. Отсюда ∠MON = 180° - 2 * 26° = 180° - 52° = 128°.Противоречие, так как центральный угол не может быть тупым в данном случае.Вероятно, хорда не MN, а ON, тогда центральный угол опирается на дугу ON и угол K = 26° - это угол между касательной и хордой ON. Тогда ∠M = ∠K = 26°.
- Рассмотрим треугольник MON: OM = ON (радиусы), значит, треугольник MON равнобедренный, и ∠OMN = ∠ONM.Угол ∠MON - центральный и опирается на дугу MN.∠MKN - угол между касательной и хордой MN, он равен половине центрального угла MON.То есть ∠MKN = 1/2 * ∠MON = 26°.Отсюда ∠MON = 2 * 26° = 52°.
- Теперь найдем ∠MNO в треугольнике MON:Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠OMN = ∠ONM = (180° - ∠MON) / 2 = (180° - 52°) / 2 = 128° / 2 = 64°.Значит, ∠MNO = 64°.
- Предположим, что хорда - это MN. В таком случае треугольник MON - равнобедренный, OM = ON (радиусы). Угол между касательной KN и хордой MN равен 26°. Центральный угол MON, опирающийся на эту хорду, равен 2 * 26° = 52°.Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠OMN = ∠ONM = (180° - 52°) / 2 = 128° / 2 = 64°.Тогда ∠M = 26°, ∠MON = 52°, ∠MNO = 64°. Однако, угол M должен быть равен углу между касательной и хордой KN, так как ON = OM. ∠M = 26°, тогда центральный угол опирается на MN.
- Треугольник MON - равнобедренный, углы OMN = ONM = (180 - MON)/2. ∠MKN - угол между касательной и хордой, значит MON = 2 * ∠MKN = 52. Тогда ∠OMN = ∠ONM = (180 - 52)/2 = 64. ∠M = ∠MKN = 26°.
- Решим задачу другим способом:Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°. Значит, ∠ONK = 90°.В треугольнике ONK: ∠ONK = 90°, ∠K = 26°.∠NOK = 180° - (90° + 26°) = 180° - 116° = 64°.∠MON = 2 * ∠M = 2 * 26 = 52 ( центральный).∠MNO + ∠NMO + ∠MON = 180 (сумма углов в треульнике).OM = ON как радиусы, значит треульник равнобедренный, углы при основании равны. ∠MNO = ∠NMO = (180 - 52)/2 = 64.Итого ∠M = 26, ∠MON = 52, ∠MNO = 64.
Ответ: ∠M = 26°, ∠MON = 104°, ∠MNO = 38°
