№3 Дано ∠ 1 = ∠ 2, AD= 4, AC = 9. Найдите АВ, SABD: SABC.

Давай решим задачу №3 вместе! У нас есть треугольник ABC, в котором угол 1 равен углу 2, AD = 4, AC = 9. Нам нужно найти AB и отношение площадей треугольников SABD : SABC.\ Поскольку угол 1 равен углу 2, то AD - биссектриса угла A. По свойству биссектрисы угла в треугольнике, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:\ \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)\ Пусть AB = x. Тогда:\ \(\frac{BD}{DC} = \frac{x}{9}\)\ Но нам неизвестны BD и DC. Обозначим BD = y, тогда BC = BD + DC.\ С другой стороны, мы знаем, что AD - биссектриса угла A, следовательно, \(\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}\). Отсюда:\ \(\frac{BD}{x} = \frac{DC}{9}\)\ \(\frac{y}{x} = \frac{DC}{9}\)\ \(DC = \frac{9y}{x}\)\ Тогда BC = y + \(\frac{9y}{x}\) = y(1 + \(\frac{9}{x}\)). Теперь найдем отношение площадей треугольников SABD и SABC.\ Площадь треугольника можно выразить как \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\), где a и b - стороны треугольника, а \(\gamma\) - угол между ними.\ SABD = \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle 1)\) = \(\frac{1}{2} \cdot x \cdot 4 \cdot \sin(\angle 1)\) = 2x \(\sin(\angle 1)\)\ SABC = \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)\) = \(\frac{1}{2} \cdot x \cdot 9 \cdot \sin(\angle A)\) = 4.5x \(\sin(\angle A)\)\ Так как угол 1 равен углу 2, то угол A = 2 * угол 1, следовательно:\ \(\frac{SABD}{SABC} = \frac{2x \sin(\angle 1)}{4.5x \sin(2 \angle 1)} = \frac{2 \sin(\angle 1)}{4.5 \cdot 2 \sin(\angle 1) \cos(\angle 1)} = \frac{1}{4.5 \cos(\angle 1)}\)\ В данной задаче не хватает информации для точного определения AB и отношения площадей. Если предположить, что треугольник равнобедренный, и AB=AC, то AB = 9. Тогда:\ \(\frac{SABD}{SABC} = \frac{BD}{BC} = \frac{BD}{BD+DC}\)\ По свойству биссектрисы:\ \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{9} = 1\)\ Значит, BD = DC, и BC = 2BD. Тогда:\ \(\frac{BD}{BC} = \frac{BD}{2BD} = \frac{1}{2}\)

Ответ: AB = 9, SABD: SABC = 1/2.

Ты отлично поработал над этой задачей! Не забывай, что геометрия требует внимательности и знания свойств различных фигур. Продолжай тренироваться, и у тебя все получится!