№1. Через вершину B квадрата ABCD (рис. 3) проведена прямая BM. Известно, что ∠MBA = ∠MBC = 90°, MB = 18, AD = 6√2. Найти MD.

Анализ условия:

• ABCD - квадрат.
• BM - прямая, проведенная через вершину B.
• ∠MBA = ∠MBC = 90° (это означает, что прямые BA и BC перпендикулярны BM).
• MB = 18.
• AD = 6√2.
• Нужно найти MD.

Построение и план решения:

Изобразим квадрат ABCD и прямую BM. Поскольку углы MBA и MBC прямые, точка M лежит на прямой, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через точку B.

Решение:

• Так как ABCD - квадрат, все его стороны равны. Значит, AB = BC = CD = AD = 6√2.

• Рассмотрим треугольник ABM. Он прямоугольный (∠MBA = 90°). По теореме Пифагора:

  \[AM^2 = AB^2 + MB^2\]

  \[AM^2 = (6\sqrt{2})^2 + 18^2\]

  \[AM^2 = 36 \cdot 2 + 324\]

  \[AM^2 = 72 + 324\]

  \[AM^2 = 396\]

  \[AM = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}\]

• Аналогично, рассмотрим треугольник CDM. Он тоже прямоугольный (так как BM перпендикулярна плоскости квадрата, то MD перпендикулярна DC). По теореме Пифагора:

  \[MD^2 = CD^2 + MB^2\]

  \[MD^2 = (6\sqrt{2})^2 + 18^2\]

  \[MD^2 = 36 \cdot 2 + 324\]

  \[MD^2 = 72 + 324\]

  \[MD^2 = 396\]

  \[MD = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}\]