№2. Через точку А, лежащую на окружности, проведены диаметр АВ и хорда АС, причём АС = 8 и ∠ ВАС = 30°. Найдите хорду СМ, перпендикулярную АВ.

Решение:

• Шаг 1: Проведем перпендикуляр из точки C к диаметру AB. Назовем точку пересечения H.
• Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нем угол BAC равен 30°, а гипотенуза AC равна 8. Найдем длину катета CH, противолежащего углу в 30°. \[CH = AC \cdot \sin(\angle BAC) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\]
• Шаг 3: Так как CM перпендикулярна AB, а CH также перпендикулярна AB, то точки H, M лежат на одной прямой. Значит, CH является половиной хорды CM, так как диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
• Шаг 4: Найдем длину хорды CM. \[CM = 2 \cdot CH = 2 \cdot 4 = 8\]

Ответ: 8