№ 22 Ввод числа 1 балл Найти f'(256), если f(x) = √.

Уважаемый ученик, для решения этой задачи нам нужно найти значение производной функции $$f(x) = \sqrt[8]{x}$$ в точке $$x = \frac{1}{256}$$.

Мы уже нашли производную в предыдущей задаче: $$f'(x) = \frac{1}{8\sqrt[8]{x^7}}$$.

Подставим $$x = \frac{1}{256}$$ в выражение для производной:

$$f'(\frac{1}{256}) = \frac{1}{8\sqrt[8]{(\frac{1}{256})^7}}$$.

Заметим, что $$256 = 2^8$$, поэтому $$(\frac{1}{256})^7 = (\frac{1}{2^8})^7 = \frac{1}{2^{56}}$$.

Тогда $$f'(\frac{1}{256}) = \frac{1}{8\sqrt[8]{\frac{1}{2^{56}}}} = \frac{1}{8 \cdot \frac{1}{2^7}} = \frac{2^7}{8} = \frac{128}{8} = 16$$.

Ответ: 16