№ 1. В треугольнике CDE ∠C = 30°, ∠D = 45°, CE = 5√2. Найдите DE. № 2. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника. № 3. Определите вид треугольника АВС, если А(3; 9), B(0; 6), C(4; 2). № 4. В ромбе ABCD АК — биссектриса угла СAB, ∠BAD = 60°, ВК = 12 см. Найдите площадь ромба.

Здравствуйте, ученик! Сейчас мы вместе решим эти задачи. Будь уверен, у тебя всё получится!

№ 1. В треугольнике CDE ∠C = 30°, ∠D = 45°, CE = 5√2. Найдите DE.

Для решения этой задачи, воспользуемся теоремой синусов. Сначала найдем угол E:

\[∠E = 180° - ∠C - ∠D = 180° - 30° - 45° = 105°\]

Теперь применим теорему синусов:

\[\frac{DE}{\sin{∠C}} = \frac{CE}{\sin{∠D}}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{DE}{\sin{30°}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin{45°}}\] \[\frac{DE}{0.5} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\] \[DE = 0.5 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 0.5 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 0.5 \cdot 10 = 5\]

Ответ: DE = 5

---

№ 2. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.

Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения третьей стороны треугольника. Пусть a = 5 см, b = 7 см, и угол между ними γ = 60°. Тогда третья сторона c:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{γ}\]

Подставим значения:

\[c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos{60°}\] \[c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot 0.5\] \[c^2 = 74 - 35 = 39\] \[c = \sqrt{39}\]

Ответ: \(c = \sqrt{39}\) см

---

№ 3. Определите вид треугольника АВС, если А(3; 9), B(0; 6), C(4; 2).

Найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[AB = \sqrt{(3-0)^2 + (9-6)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] \[BC = \sqrt{(0-4)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] \[AC = \sqrt{(3-4)^2 + (9-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора для этого треугольника:

\[AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 18 + 32 = 50\] \[AC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50\]

Так как \(AB^2 + BC^2 = AC^2\), треугольник ABC является прямоугольным.

Ответ: Треугольник ABC прямоугольный.

---

№ 4. В ромбе ABCD АК — биссектриса угла СAB, ∠BAD = 60°, ВК = 12 см. Найдите площадь ромба.

Так как ∠BAD = 60° и AK - биссектриса угла CAB, то ∠BAK = ∠CAK = 30°. В ромбе все стороны равны, обозначим сторону ромба как a. Рассмотрим треугольник ABK:

∠ABK = 180° - ∠BAK - ∠AKB

Чтобы найти угол ∠AKB, заметим, что ∠CAB = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°. Поскольку AK - биссектриса, то ∠BAK = 30°. Треугольник ABK является треугольником, где ∠BAK = 30°, а BK = 12 см.

Используем соотношение сторон в прямоугольном треугольнике, образованном высотой из A на сторону BC. В ромбе ABCD ∠BAD = 60°, следовательно, треугольник ABD равносторонний, и AB = AD = BD = a. Так как ∠BAK = 30°, можем выразить сторону ромба через BK:

\[BK = a - AK\]

Также, из треугольника ABK, можем выразить AK через AB:

\[\frac{BK}{AB} = 1 - \cos{30°}\] \[\frac{12}{a} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[a = \frac{12}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{2 - \sqrt{3}}\]

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\[a = \frac{24(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{24(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 24(2 + \sqrt{3})\]

Теперь найдем площадь ромба:

\[S = a^2 \sin{60°} = (24(2 + \sqrt{3}))^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[S = 24^2 (2 + \sqrt{3})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 576 (4 + 4\sqrt{3} + 3) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 576 (7 + 4\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[S = 288 (7\sqrt{3} + 12) = 2016\sqrt{3} + 3456\]

Ответ: Площадь ромба равна \(2016\sqrt{3} + 3456\) см².

Ответ:

• №1: 5
• №2: √39 см
• №3: Прямоугольный
• №4: 2016√3 + 3456 см²

Ты отлично справился с заданиями! Не останавливайся на достигнутом и продолжай изучать математику с таким же энтузиазмом. У тебя обязательно всё получится!