№ 4 по теме «Векторы» Вариант № 2 1. Постройте ромб ABCD. Укажите вектор с концами в вершинах данного параллелограмма, равный: a) AC+CB, 6) AD-AB, B) DA+DC. 2. Даны точки А(-2; 1), В(-3; -2), С(3;-1). Найдите: а) координаты векторов ВА и ВС; б) длины векторов ВА И ВС; в) координаты вектора МК = 2BA-3BC; г) скалярное произведение векторов ВА и ВС; д) косинус угла между векторами ВА и ВС. 3. Даны векторы а {3; -8}и 6 {6; и). При каком значении п векторы а и в будут а) коллинеарны, б) перпендикулярны? 4. На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСD отмечены соответственно точки М и N так, что AM: MB=3: 2, BN: NC=2:5. Выразите вектор М№ через векторы DA = а и DC=b.

Решение:

1. Вариант №2

   1.Постройте ромб ABCD. Укажите вектор с концами в вершинах данного параллелограмма, равный: a) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}\), б) \(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\), в) \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}\).

   Решение: a) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}\)

   б) \(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD}\)

   в) \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CA}\)

2. 2. Даны точки A(-2; 1), B(-3; -2), C(3; -1). Найдите: а) координаты векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\); б) длины векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\); в) координаты вектора \(\overrightarrow{MK} = 2\overrightarrow{BA} - 3\overrightarrow{BC}\); г) скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\); д) косинус угла между векторами \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

   Решение:

   а) Координаты вектора \(\overrightarrow{BA}\) = A - B = (-2 - (-3); 1 - (-2)) = (1; 3)

   Координаты вектора \(\overrightarrow{BC}\) = C - B = (3 - (-3); -1 - (-2)) = (6; 1)

   б) Длина вектора \(\overrightarrow{BA}\) = \(\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\)

   Длина вектора \(\overrightarrow{BC}\) = \(\sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}\)

   в) \(\overrightarrow{MK} = 2\overrightarrow{BA} - 3\overrightarrow{BC}\) = 2(1; 3) - 3(6; 1) = (2; 6) - (18; 3) = (-16; 3)

   г) Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\) = (1 * 6) + (3 * 1) = 6 + 3 = 9

   д) Косинус угла между векторами \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\) = \(\frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{9}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{37}} = \frac{9}{\sqrt{370}}\)

3. 3. Даны векторы \(\overrightarrow{a} \{3; -8\}\) и \(\overrightarrow{b} \{6; n\}\). При каком значении n векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) будут а) коллинеарны, б) перпендикулярны?

   Решение:

   a) Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: \(\frac{3}{6} = \frac{-8}{n}\)

   \(3n = -48\)

   \(n = -16\)

   б) Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

   \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 6 + (-8) \cdot n = 0\)

   \(18 - 8n = 0\)

   \(8n = 18\)

   \(n = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2.25\)

4. 4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и N так, что AM : MB = 3 : 2, BN : NC = 2 : 5. Выразите вектор \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{b}\).

   Решение:

   Пусть \(\overrightarrow{AM} = \frac{3}{5} \overrightarrow{AB} = \frac{3}{5} \overrightarrow{DC} = \frac{3}{5} \overrightarrow{b}\)

   \(\overrightarrow{BN} = \frac{2}{7} \overrightarrow{BC} = \frac{2}{7} \overrightarrow{AD} = \frac{2}{7} \overrightarrow{a}\)

   \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} = -\frac{3}{5} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} + \frac{5}{7} \overrightarrow{DC} = -\frac{3}{5} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} + \frac{5}{7} \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (\frac{5}{7} - \frac{3}{5}) \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (\frac{25 - 21}{35}) \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \frac{4}{35} \overrightarrow{b}\)

Ответ: смотри решение