№ 1. Используя рисунок, укажите верные утверждения. a) Прямые k и n параллельны; б) Прямые b и c параллельны; в) ∠1 и ∠2 – накрест лежащие; г) ∠1 и ∠3 – соответственные; д) ∠4 и ∠5 – односторонние. № 2. Прямые b и d параллельны. Найдите ∠2, если ∠1 = 48°. № 3. ∠C = 40°, ∠ABE = 120°. Найдите ∠ BAD. № 4. MB = CB = AM, ∠C= 78°. Найдите ∠ АМК. № 5. Один из углов треугольника больше другого на 25° и меньше третьего угла на 25°. Найдите меньший из углов. № 6. Прямая ВС параллельна основанию МР равнобедренного треугольника МРК. Найдите неизвестные углы треугольника ВСК, если ∠K= 64°, ∠M= 58°.

Решение №1

Давай внимательно посмотрим на рисунок и вспомним определения углов при параллельных прямых и секущей:

• а) Прямые k и n: Сумма углов 4 и 5 равна 180° (36° + 144° = 180°). Так как это односторонние углы, а их сумма равна 180°, то прямые k и n параллельны. Утверждение верное.
• б) Прямые b и c: Угол 1 равен 74°, а угол 2 равен 104°. Эти углы не являются ни соответственными, ни накрест лежащими, ни односторонними, поэтому нельзя утверждать, что прямые b и c параллельны. Утверждение неверное.
• в) ∠1 и ∠2 – накрест лежащие: Углы 1 и 2 не являются накрест лежащими. Угол 1 и угол, смежный с углом 2, были бы накрест лежащими. Утверждение неверное.
• г) ∠1 и ∠3 – соответственные: Углы 1 и 3 не являются соответственными. Угол 1 и угол, который находится над углом 3, были бы соответственными. Утверждение неверное.
• д) ∠4 и ∠5 – односторонние: Углы 4 и 5 – односторонние углы при прямых k и n и секущей m. Утверждение верное.

Ответ: Верные утверждения: а) и д).

---

Решение №2

Если прямые b и d параллельны, то соответственные углы равны. Значит, ∠1 = ∠2.

Так как ∠1 = 48°, то и ∠2 = 48°.

Ответ: ∠2 = 48°

---

Решение №3

Давай найдем ∠BAD.

∠ABE и ∠CBE – смежные углы, поэтому их сумма равна 180°.

∠CBE = 180° - ∠ABE = 180° - 120° = 60°

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°.

∠BAC = 180° - ∠C - ∠CBE = 180° - 40° - 60° = 80°

∠BAD = ∠BAC = 80°

Ответ: ∠BAD = 80°

---

Решение №4

Так как MB = CB = AM, то треугольник ABC равнобедренный (CB = AM), и AM – медиана.

Поскольку MB = CB, треугольник MBC тоже равнобедренный, и ∠MBC = ∠MCB = 78°.

∠BMC = 180° - ∠MBC - ∠MCB = 180° - 78° - 78° = 24°

∠AMK и ∠BMC – вертикальные углы, поэтому ∠AMK = ∠BMC = 24°

Ответ: ∠AMK = 24°

---

Решение №5

Пусть x – меньший угол треугольника.

Тогда второй угол равен x + 25°, а третий угол равен (x + 25°) + 25° = x + 50°.

Сумма углов треугольника равна 180°.

x + (x + 25°) + (x + 50°) = 180°

3x + 75° = 180°

3x = 105°

x = 35°

Ответ: Меньший угол равен 35°

---

Решение №6

Так как BC параллельна MP, то ∠BCK = ∠M = 58° как соответственные углы.

В равнобедренном треугольнике MPK углы при основании равны, значит ∠P = ∠M = 58°.

Угол ∠K = 64°.

Сумма углов треугольника MPK равна 180°.

Значит, ∠M + ∠P + ∠K = 58° + 58° + 64° = 180° (что подтверждает, что это треугольник).

В треугольнике BCK: ∠BCK = 58°, ∠K = 64°.

∠CBK = 180° - ∠BCK - ∠K = 180° - 58° - 64° = 58°

Значит, ∠CBK = 58°

Ответ: Неизвестные углы треугольника ВСК: ∠BCK = 58°, ∠CBK = 58°.

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!