221☐ Даны треугольник АВС и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN - с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться знаниями о свойствах медиан треугольника и теореме о прямой Эйлера.

Условие:

• Дан треугольник ABC.
• Точка M такова, что середина BM совпадает с серединой AC.
• Точка N такова, что середина CN совпадает с серединой AB.
• Нужно доказать, что точки M, N и A лежат на одной прямой.

Доказательство:

1. Обозначим середину AC как точку D и середину AB как точку E.
2. Так как D - середина AC и середина BM, то AD = DC и BD = DM. Следовательно, ADCM - параллелограмм.
3. Аналогично, так как E - середина AB и середина CN, то AE = EB и CE = EN. Следовательно, AECN - параллелограмм.
4. Из свойств параллелограмма ADCM следует, что AM || DC и AM = DC. Значит, AM || AC и AM = 1/2 AC.
5. Из свойств параллелограмма AECN следует, что AN || EB и AN = EB. Значит, AN || AB и AN = 1/2 AB.
6. Рассмотрим прямую MN. Так как AM || AC и AN || AB, и точки M и N лежат на продолжениях сторон AC и AB соответственно, то точки A, M и N лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано, что точки M, N и A лежат на одной прямой.