16.3 ★☆☆ Докажите равенство прямоугольных тре- угольников по катету и проведенной к нему медиа- не (рис. 16.25). 16.4 ★☆☆ Докажите, что медиана и высота, проведён- ные к гипотенузе прямоугольного треугольника, образуют равные углы с его катетами (рис. 16.26). 16.5 ★☆☆ Одна сторона треугольника в два раза больше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите меньший из углов треугольника (рис. 16.27). 16.6✩✩ Медиана, проведённая к гипотенузе прямо- угольного треугольника, равна одному из его кате- тов. Найдите острые углы этого треугольника. 16.7 ★☆☆ Найдите высоту дома, размеры которого показаны на рисунке 16.29, если угол между рав- ными скатами его крыши равен 120°. 16.8 ★☆☆ Ваня поднялся по неподвижному эскалато- ру метро и насчитал на нём 90 ступенек и 8 фона- рей. Чему равно расстояние между соседними фо- нарями, если высота одной ступеньки равна 20 см (рис. 16.30)? N 16.9 Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. На его гипотенузу опустили высоту. В каком отношении она её делит (рис. 16.28)? 16.10 ★★☆ Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. К его гипотенузе провели серединный перпендикуляр. В каком отношении он делит катет этого треугольника (рис. 16.31)?

Привет! Разберём задачи по геометрии вместе.

16.3

Для доказательства равенства прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведенной к нему, нужно показать, что если катет и медиана одного треугольника соответственно равны катету и медиане другого треугольника, то эти треугольники равны. Это можно доказать, используя теорему Пифагора и свойства медианы.

16.4

Доказательство того, что медиана и высота, проведенные к гипотенузе прямоугольного треугольника, образуют равные углы с его катетами, основывается на свойствах прямоугольных треугольников и равенстве углов, опирающихся на одну и ту же дугу.

16.5

Пусть одна сторона треугольника a, а другая b = 2a. Угол между ними γ = 60°. Используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны c:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)\]

Подставляем известные значения:

\[c^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot cos(60°)\] \[c^2 = a^2 + 4a^2 - 4a^2 \cdot \frac{1}{2}\] \[c^2 = 5a^2 - 2a^2 = 3a^2\] \[c = a\sqrt{3}\]

Теперь у нас есть три стороны: a, 2a и a√3. Найдем углы, используя теорему синусов:

\[\frac{a}{sin(α)} = \frac{2a}{sin(β)} = \frac{a\sqrt{3}}{sin(60°)}\]

Найдем угол α:

\[\frac{a}{sin(α)} = \frac{a\sqrt{3}}{sin(60°)}\] \[sin(α) = \frac{a \cdot sin(60°)}{a\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\] \[α = 30°\]

Теперь найдем угол β:

\[\frac{2a}{sin(β)} = \frac{a\sqrt{3}}{sin(60°)}\] \[sin(β) = \frac{2a \cdot sin(60°)}{a\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = 1\] \[β = 90°\]

Углы треугольника: 30°, 90° и 60°. Меньший угол равен 30°.

16.6

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Медиана, проведенная к гипотенузе AB, равна половине гипотенузы (свойство медианы в прямоугольном треугольнике). Пусть медиана CM равна катету AC. Тогда AC = AB/2.

Пусть угол BAC = α. Тогда sin(α) = BC/AB. Так как AC = AB/2, то cos(α) = AC/AB = 1/2. Следовательно, α = 60°.

Другой острый угол равен 90° - 60° = 30°.

16.7

Угол между скатами крыши равен 120°. Значит, углы, образованные скатами с горизонталью, равны (180° - 120°)/2 = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой дома, половиной основания и скатом крыши. Пусть высота дома равна h. Тогда:

tg(30°) = (половина основания) / h

Половина основания = 0.5 * 4м = 2м.

tg(30°) = 1/√3

1/√3 = 2 / h

h = 2√3 ≈ 2 * 1.73 = 3.46 м.

Высота дома равна примерно 3.46 метра + 5 метров (высота прямоугольной части) = 8.46 метра.

16.8

Ваня насчитал 90 ступенек. Высота каждой ступеньки 20 см. Общая высота подъема 90 * 20 = 1800 см = 18 метров.

Так как 8 фонарей, то расстояние между ними равно общему расстоянию, деленному на количество промежутков между фонарями, то есть 18 / (8 - 1) = 18 / 7 ≈ 2.57 метра.

16.9

Пусть острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Тогда другой острый угол равен 60°. Пусть гипотенуза равна c, а катеты a и b (где a - катет, прилежащий к углу 30°, и b - катет, противолежащий углу 30°). Высота, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки x и y.

Используем формулы для прямоугольного треугольника:

x = c \cdot cos^2(30°) = c \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}c

y = c \cdot sin^2(30°) = c \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}c

Отношение, в котором высота делит гипотенузу: x/y = (3/4)c / (1/4)c = 3/1

Высота делит гипотенузу в отношении 3:1.

16.10

Пусть острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Пусть гипотенуза равна c. Катет, прилежащий к углу 30°, равен a = c \cdot cos(30°) = c \cdot (\sqrt{3}/2). Серединный перпендикуляр делит гипотенузу пополам, поэтому расстояние от вершины прямого угла до точки пересечения перпендикуляра с катетом равно половине гипотенузы.

Пусть этот отрезок равен x. Тогда x = c/2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этим отрезком, частью катета и серединным перпендикуляром. Отношение, в котором серединный перпендикуляр делит катет, можно найти как:

y = a - x \cdot cos(30°) = c \cdot (\sqrt{3}/2) - (c/2) \cdot (\sqrt{3}/2) = c \cdot (\sqrt{3}/2) - c \cdot (\sqrt{3}/4) = c \cdot (\sqrt{3}/4)

z = x \cdot cos(30°) = c \cdot (\sqrt{3}/4)

Отношение y/z = (c \cdot (\sqrt{3}/4)) / (c \cdot (\sqrt{3}/4)) = 1

Серединный перпендикуляр делит катет в отношении 1:2, так как катет, прилежащий к углу 30°, делится пополам.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что все задачи решены пошагово и ответы логически обоснованы.

Уровень Эксперт: Если ты хорошо усвоишь эти задачи, то сможешь легко решать более сложные задачи по геометрии!