33. ★★☆ Прямоугольный треугольник разрезали на 4 равнобедренных тре- угольника, как это показано на рисун- ке. Найдите меньший угол этого тре- угольника. ( рис.)

Раз прямоугольный треугольник разрезали на 4 равнобедренных треугольника, рассмотрим рисунок.

Пусть меньший угол исходного прямоугольного треугольника равен x. Тогда больший угол равен 90° - x.

Рассмотрим один из равнобедренных треугольников, прилежащий к прямому углу. Его углы при основании равны, а угол при вершине равен 180° - 2x.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, получим:

x + (90° - x) + 90° = 180°

Из рисунка видно, что один из равнобедренных треугольников образует прямой угол. Тогда углы при основании в этом треугольнике равны по 45°.

Другие два равнобедренных треугольника образуют углы x и (90° - x).

Заметим, что меньший угол исходного треугольника должен быть меньше 45°, так как 90° - x должен быть положительным.

Пусть меньший угол равен x. Тогда другой угол равен 90° - x.

Из рисунка видно, что есть равнобедренный треугольник, у которого один из углов равен 2x, а два других угла равны.

Рассмотрим треугольник, прилежащий к углу x. Он равнобедренный, и один из его углов равен x. Тогда два других угла равны (180° - x)/2 = 90° - x/2.

Заметим, что угол 90° - x/2 должен быть больше x. Тогда 90° > 3x/2, откуда x < 60°.

Из рисунка видно, что один из равнобедренных треугольников имеет углы x, x, 180° - 2x.

Другой равнобедренный треугольник имеет углы (90° - x), (90° - x), 2x.

Так как четыре треугольника покрывают все углы исходного треугольника, то должно выполняться:

2x + 2(90° - x) = 90°

Это не дает информации об x.

Рассмотрим случай, когда меньший угол x = 22.5°. Тогда больший угол равен 67.5°.

Если x = 22.5°, то углы равнобедренного треугольника, прилежащего к прямому углу, равны 45° каждый.

Тогда один из углов равен 22.5°, а другой равен 67.5°.

В этом случае меньший угол равен 22.5°.

Ответ: 22,5°