④ Упростите выражение. 4 а) \frac{m^{-4}+n^{-6}}{2m^{-4}-2m^{-2}n^{-3}}-\frac{m^{-3}}{m^{-2}-n^{-3}}

Для упрощения выражения \(\frac{m^{-4}+n^{-6}}{2m^{-4}-2m^{-2}n^{-3}}-\frac{m^{-3}}{m^{-2}-n^{-3}}\) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Приведем дроби к общему знаменателю.
2. Упростим числитель, выполним вычитание.
3. Разложим знаменатель на множители.
4. Сократим дробь, если это возможно.

Прежде всего, преобразуем выражение:

$$\frac{m^{-4}+n^{-6}}{2m^{-4}-2m^{-2}n^{-3}}-\frac{m^{-3}}{m^{-2}-n^{-3}} = \frac{m^{-4}+n^{-6}}{2(m^{-4}-m^{-2}n^{-3})}-\frac{m^{-3}}{m^{-2}-n^{-3}}$$

Общий знаменатель: \(2(m^{-4}-m^{-2}n^{-3})\)

Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

$$\frac{m^{-3}}{m^{-2}-n^{-3}} = \frac{m^{-3} \cdot 2m^{-2}}{2m^{-2}(m^{-2}-n^{-3})} = \frac{2m^{-5}}{2(m^{-4}-m^{-2}n^{-3})}$$

Теперь вычтем дроби:

$$\frac{m^{-4}+n^{-6}}{2(m^{-4}-m^{-2}n^{-3})}-\frac{2m^{-5}}{2(m^{-4}-m^{-2}n^{-3})} = \frac{m^{-4}+n^{-6}-2m^{-5}}{2(m^{-4}-m^{-2}n^{-3})}$$

Преобразуем числитель и знаменатель, используя положительные степени:

$$\frac{\frac{1}{m^4} + \frac{1}{n^6} - \frac{2}{m^5}}{2(\frac{1}{m^4} - \frac{1}{m^2n^3})} = \frac{\frac{m n^6 + m^5 - 2n^6}{m^5 n^6}}{2(\frac{n^3 - m^2}{m^4 n^3})} = \frac{m n^6 + m^5 - 2n^6}{m^5 n^6} \cdot \frac{m^4 n^3}{2(n^3 - m^2)}$$

$$\frac{m^4 n^3(mn^6 + m^5 - 2n^6)}{2m^5 n^6(n^3 - m^2)} = \frac{mn^6 + m^5 - 2n^6}{2m n^3(n^3 - m^2)}$$

Финальное выражение:

$$\frac{m^5+mn^6-2n^6}{2mn^3(n^3-m^2)}$$

Ответ: \(\frac{m^5+mn^6-2n^6}{2mn^3(n^3-m^2)}\)