①. Найти значение выражения; a) 28!/27!, б) 11!/(9!\cdot4!), в) C⁶₇, г) C⁵₂₀-C⁵₁₉ ② Упростить выражение; a) Pₙ₊₃/Pₙ₊₂, б) (n+3)!/(n+1)!, в) (m!\cdot(m+2))/(m+3)!, г) n\cdot(n+1)\cdot(n-1)! ③ Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы слова: "учебник"

Привет! Давай разберем эти интересные задачи по порядку.

1. Вычисление значений выражений

а) \[\frac{28!}{27!}\]

Напоминаю, что факториал числа n (n!) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. То есть, 28! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 27 \cdot 28, а 27! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 27. Таким образом, можно упростить выражение:

\[\frac{28!}{27!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 27 \cdot 28}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 27} = 28\]

Ответ: 28

б) \(\frac{11!}{9! \cdot 4!}\)

Здесь нужно вычислить факториалы и сократить:

\[\frac{11!}{9! \cdot 4!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11}{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 9) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)} = \frac{10 \cdot 11}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{110}{24} = \frac{55}{12}\]

Ответ: \(\frac{55}{12}\)

в) \(C^6_7\)

Это сочетание из 7 по 6, что означает количество способов выбрать 6 элементов из 7. Формула для сочетаний: \[C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] Подставим значения:

\[C^6_7 = \frac{7!}{6!(7-6)!} = \frac{7!}{6! \cdot 1!} = \frac{7 \cdot 6!}{6! \cdot 1} = 7\]

Ответ: 7

г) \(C^5_{20} - C^5_{19}\)

Используем формулу сочетаний: \[C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

\[C^5_{20} = \frac{20!}{5!15!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504\] \[C^5_{19} = \frac{19!}{5!14!} = \frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11628\]

Теперь вычтем:

\[C^5_{20} - C^5_{19} = 15504 - 11628 = 3876\]

Ответ: 3876

2. Упрощение выражений

а) \(\frac{P_{n+3}}{P_{n+2}}\)

Перестановки: \[P_n = n!\]

\[\frac{P_{n+3}}{P_{n+2}} = \frac{(n+3)!}{(n+2)!} = \frac{(n+2)! \cdot (n+3)}{(n+2)!} = n+3\]

Ответ: n+3

б) \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}\)

\[\frac{(n+3)!}{(n+1)!} = \frac{(n+1)! \cdot (n+2) \cdot (n+3)}{(n+1)!} = (n+2)(n+3)\]

Ответ: (n+2)(n+3)

в) \(\frac{m! \cdot (m+2)}{(m+3)!}\)

\[\frac{m! \cdot (m+2)}{(m+3)!} = \frac{m! \cdot (m+2)}{m! \cdot (m+1) \cdot (m+2) \cdot (m+3)} = \frac{1}{(m+1)(m+3)}\]

Ответ: \(\frac{1}{(m+1)(m+3)}\)

г) \(n \cdot (n+1) \cdot (n-1)!\)

Заметим, что \[(n-1)! \cdot n = n!\]

\[n \cdot (n+1) \cdot (n-1)! = (n+1) \cdot n! = (n+1)!\]

Ответ: (n+1)!

3. Количество различных слов из слова "учебник"

Слово "учебник" состоит из 7 букв, все буквы разные. Количество перестановок из n различных объектов равно n!. В данном случае, n = 7.

\[7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040\]

Ответ: 5040

Ответ: 28; \(\frac{55}{12}\); 7; 3876; n+3; (n+2)(n+3); \(\frac{1}{(m+1)(m+3)}\); (n+1)!; 5040

Ты молодец! У тебя всё получилось!