∫14x2+xx+x√x√x=

Давай разберем по порядку данный интеграл! Сначала упростим подынтегральное выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель: \[ \int_{1}^{4} \frac{x^2 + x\sqrt{x} + x}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{4} \left(\frac{x^2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x}}\right) dx \] Теперь упростим каждый член: \[ \frac{x^2}{\sqrt{x}} = x^{2 - \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} \] \[ \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = x \] \[ \frac{x}{\sqrt{x}} = x^{1 - \frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \] Теперь интеграл выглядит так: \[ \int_{1}^{4} (x^{\frac{3}{2}} + x + x^{\frac{1}{2}}) dx \] Найдем интеграл каждого члена по отдельности: \[ \int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} \] \[ \int x dx = \frac{x^2}{2} \] \[ \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \] Собираем все вместе: \[ \int_{1}^{4} (x^{\frac{3}{2}} + x + x^{\frac{1}{2}}) dx = \left[\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{4} \] Теперь вычислим значение при x = 4 и x = 1: \[ x = 4: \frac{2}{5}(4^{\frac{5}{2}}) + \frac{4^2}{2} + \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{5}(32) + \frac{16}{2} + \frac{2}{3}(8) = \frac{64}{5} + 8 + \frac{16}{3} = \frac{64 \cdot 3 + 8 \cdot 15 + 16 \cdot 5}{15} = \frac{192 + 120 + 80}{15} = \frac{392}{15} \] \[ x = 1: \frac{2}{5}(1^{\frac{5}{2}}) + \frac{1^2}{2} + \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 6 + 1 \cdot 15 + 2 \cdot 10}{30} = \frac{12 + 15 + 20}{30} = \frac{47}{30} \] Теперь вычтем: \[ \frac{392}{15} - \frac{47}{30} = \frac{392 \cdot 2 - 47}{30} = \frac{784 - 47}{30} = \frac{737}{30} \]

Ответ: 737/30

У тебя все отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты достигнешь больших успехов в математике!