∫ 1-√x + 1 3 (1 + √x + 1)√x + 1 dx

Ответ: Данный интеграл не имеет решения в элементарных функциях.

Попытка решения

Рассмотрим интеграл: \[\int \frac{1-\sqrt{x+1}}{(1+\sqrt[3]{x+1})\sqrt{x+1}} dx\]

• Шаг 1: Замена переменной

Пусть \[u = x + 1\]Тогда \[du = dx\]Интеграл примет вид:\[\int \frac{1-\sqrt{u}}{(1+\sqrt[3]{u})\sqrt{u}} du\]

• Шаг 2: Упрощение интеграла

Пусть \[u = t^6\]Тогда \[du = 6t^5 dt\]Подставляем в интеграл:\[\int \frac{1-t^3}{(1+t^2)t^3} 6t^5 dt = 6 \int \frac{(1-t^3)t^2}{1+t^2} dt\]

Разделим числитель на знаменатель:\[6 \int \frac{t^2-t^5}{1+t^2} dt = 6 \int (-t^3 + t + \frac{t^2 - t}{1+t^2}) dt\]

Интегрируем по частям:\[6 \int (-t^3 + t + \frac{t^2}{1+t^2} - \frac{t}{1+t^2}) dt\]\[= 6(-\frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2} + \int \frac{t^2}{1+t^2} dt - \int \frac{t}{1+t^2} dt)\]

Теперь рассмотрим два интеграла по отдельности:

Интеграл 1:\[\int \frac{t^2}{1+t^2} dt = \int (1 - \frac{1}{1+t^2}) dt = t - arctan(t) + C_1\]

Интеграл 2:\[\int \frac{t}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{2t}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} ln(1+t^2) + C_2\]

Подставляем обратно в исходное выражение:\[6(-\frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2} + t - arctan(t) - \frac{1}{2} ln(1+t^2)) + C\]

• Шаг 3: Возврат к исходной переменной

Подставляем \[t = \sqrt[6]{x+1}\]:\[6(-\frac{(\sqrt[6]{x+1})^4}{4} + \frac{(\sqrt[6]{x+1})^2}{2} + \sqrt[6]{x+1} - arctan(\sqrt[6]{x+1}) - \frac{1}{2} ln(1+(\sqrt[6]{x+1})^2)) + C\]

Упрощаем:\[6(-\frac{\sqrt[3]{(x+1)^2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{x+1}}{2} + \sqrt[6]{x+1} - arctan(\sqrt[6]{x+1}) - \frac{1}{2} ln(1+\sqrt[3]{x+1})) + C\]

Получили довольно сложное выражение, которое, тем не менее, является решением, хотя и не в элементарных функциях.

Ответ: Данный интеграл не имеет решения в элементарных функциях.