Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
2√3x+2 B) f(x)=5sin+cos2x X 5 2. Найти первообразную, a) f(x) = 3x²-2x+4; A(-1;1) 1 6) f(x) = 4x++; A(-1;4) X π B) f(x) = sin 2x; A(;-2) 4 a) f (3x²-4x)dx 2 2 X 6) (4√x-3x²)dx π B) 2sin(2x--)dx 4 3. Выч 4. Найти площадь y = 2x² y = 0; x = -1; x = 1 5. Найти площадь фигуры, ог y = -x²-4х и у = 4 + х
Ответ:
2. Найти первообразную
а) f(x) = 3x² - 2x + 4; A(-1; 1)
Краткое пояснение: Чтобы найти первообразную, нужно найти интеграл от функции f(x) и учесть заданную точку A для определения константы интегрирования.
Первообразная F(x) находится интегрированием функции f(x):
\[F(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) dx = x^3 - x^2 + 4x + C\]Используем точку A(-1; 1) для нахождения константы C:
\[1 = (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C\] \[1 = -1 - 1 - 4 + C\] \[1 = -6 + C\] \[C = 7\]Таким образом, первообразная F(x) равна:
\[F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7\]Проверка за 10 секунд: Подставь x = -1 в F(x) и убедись, что F(-1) = 1.
Запомни: Первообразная определяется неоднозначно, всегда есть константа интегрирования C, которую нужно находить из дополнительных условий.
2. Найти первообразную
б) f(x) = 4x + 1/x²; A(-1; 4)
Краткое пояснение: Интегрируем функцию f(x), затем используем точку A для определения константы интегрирования.
Первообразная F(x) находится интегрированием функции f(x):
\[F(x) = \int (4x + \frac{1}{x^2}) dx = 2x^2 - \frac{1}{x} + C\]Используем точку A(-1; 4) для нахождения константы C:
\[4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{(-1)} + C\] \[4 = 2 + 1 + C\] \[4 = 3 + C\] \[C = 1\]Таким образом, первообразная F(x) равна:
\[F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1\]Проверка за 10 секунд: Подставь x = -1 в F(x) и убедись, что F(-1) = 4.
Запомни: Не забывай про константу интегрирования C, она важна для определения конкретной первообразной.
2. Найти первообразную
в) f(x) = sin 2x; A(π/4; -2)
Краткое пояснение: Интегрируем функцию f(x), затем используем точку A для определения константы интегрирования.
Первообразная F(x) находится интегрированием функции f(x):
\[F(x) = \int sin(2x) dx = -\frac{1}{2}cos(2x) + C\]Используем точку A(π/4; -2) для нахождения константы C:
\[-2 = -\frac{1}{2}cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + C\] \[-2 = -\frac{1}{2}cos(\frac{\pi}{2}) + C\] \[-2 = -\frac{1}{2} \cdot 0 + C\] \[-2 = 0 + C\] \[C = -2\]Таким образом, первообразная F(x) равна:
\[F(x) = -\frac{1}{2}cos(2x) - 2\]Проверка за 10 секунд: Подставь x = π/4 в F(x) и убедись, что F(π/4) = -2.
Запомни: Будь внимателен со знаками при интегрировании тригонометрических функций.
3. Вычислить интегралы
а) ∫(3x² - 4x - 2/x²)dx от 1 до 2
Краткое пояснение: Сначала находим первообразную подынтегральной функции, затем применяем формулу Ньютона-Лейбница.
Первообразная F(x) находится интегрированием функции f(x):
\[F(x) = \int (3x^2 - 4x - \frac{2}{x^2}) dx = x^3 - 2x^2 + \frac{2}{x} + C\]Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
\[\int_1^2 (3x^2 - 4x - \frac{2}{x^2}) dx = F(2) - F(1)\] \[F(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + \frac{2}{2} = 8 - 8 + 1 = 1\] \[F(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + \frac{2}{1} = 1 - 2 + 2 = 1\] \[F(2) - F(1) = 1 - 1 = 0\] \[\int_1^2 (3x^2 - 4x - \frac{2}{x^2}) dx = 0\]Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно вычислил первообразную и подставил пределы интегрирования.
Читерский прием: Интеграл от 1 до 2 можно разбить на сумму интегралов, если это упростит вычисления.
3. Вычислить интегралы
б) ∫(4√x - 3x²)dx от 1 до 4
Краткое пояснение: Находим первообразную, применяем формулу Ньютона-Лейбница.
Первообразная F(x) находится интегрированием функции f(x):
\[F(x) = \int (4\sqrt{x} - 3x^2) dx = \int (4x^{\frac{1}{2}} - 3x^2) dx = 4 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x^3 + C = \frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}} - x^3 + C\]Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
\[\int_1^4 (4\sqrt{x} - 3x^2) dx = F(4) - F(1)\] \[F(4) = \frac{8}{3}(4)^{\frac{3}{2}} - (4)^3 = \frac{8}{3} \cdot 8 - 64 = \frac{64}{3} - 64 = \frac{64 - 192}{3} = -\frac{128}{3}\] \[F(1) = \frac{8}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - (1)^3 = \frac{8}{3} - 1 = \frac{8 - 3}{3} = \frac{5}{3}\] \[F(4) - F(1) = -\frac{128}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{133}{3}\] \[\int_1^4 (4\sqrt{x} - 3x^2) dx = -\frac{133}{3}\]Проверка за 10 секунд: Проверь, что правильно вычислил первообразную и подставил пределы.
Уровень Эксперт: Умение работать с дробными степенями упрощает интегрирование.
3. Вычислить интегралы
в) ∫sin(2x - π/4)dx от π/4 до π/2
Краткое пояснение: Находим первообразную, применяем формулу Ньютона-Лейбница.
Первообразная F(x) находится интегрированием функции f(x):
\[F(x) = \int sin(2x - \frac{\pi}{4}) dx = -\frac{1}{2}cos(2x - \frac{\pi}{4}) + C\]Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} sin(2x - \frac{\pi}{4}) dx = F(\frac{\pi}{2}) - F(\frac{\pi}{4})\] \[F(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}cos(2 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4}\] \[F(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}cos(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}\] \[F(\frac{\pi}{2}) - F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{4} - (-\frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} sin(2x - \frac{\pi}{4}) dx = \frac{\sqrt{2}}{2}\]Проверка за 10 секунд: Правильно вычислил первообразную и значения косинуса в пределах интегрирования.
Редфлаг: Внимательно следи за знаками, особенно при интегрировании тригонометрических функций и вычислении значений косинуса.
4. Найти площадь
y = 2x², y = 0, x = -1, x = 1
Краткое пояснение: Площадь под кривой находится интегрированием функции y = 2x² от -1 до 1.
Площадь S находится интегрированием функции y = 2x²:
\[S = \int_{-1}^1 2x^2 dx\] \[S = \frac{2}{3}x^3 \Big|_{-1}^1\] \[S = \frac{2}{3}(1^3 - (-1)^3)\] \[S = \frac{2}{3}(1 - (-1))\] \[S = \frac{2}{3}(2)\] \[S = \frac{4}{3}\]Проверка за 10 секунд: Проверь, что функция y = 2x² положительна на интервале [-1, 1] и интеграл вычислен верно.
Запомни: Площадь не может быть отрицательной, поэтому если функция отрицательна на интервале, нужно взять модуль интеграла.
5. Найти площадь фигуры
y = -x² - 4x и y = 4 + x
Краткое пояснение: Найдем точки пересечения графиков, затем вычислим интеграл от разности функций на полученном интервале.
Сначала найдем точки пересечения графиков, приравняв функции:
\[-x^2 - 4x = 4 + x\] \[x^2 + 5x + 4 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[(x + 1)(x + 4) = 0\] \[x_1 = -1, x_2 = -4\]Теперь вычислим интеграл от разности функций на интервале [-4, -1]:
\[S = \int_{-4}^{-1} ((4 + x) - (-x^2 - 4x)) dx\] \[S = \int_{-4}^{-1} (x^2 + 5x + 4) dx\] \[S = \Big[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 4x \Big]_{-4}^{-1}\]Вычислим значения первообразной в точках -1 и -4:
\[F(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{5}{2}(-1)^2 + 4(-1) = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 = \frac{-2 + 15 - 24}{6} = -\frac{11}{6}\] \[F(-4) = \frac{1}{3}(-4)^3 + \frac{5}{2}(-4)^2 + 4(-4) = -\frac{64}{3} + \frac{5}{2}(16) - 16 = -\frac{64}{3} + 40 - 16 = -\frac{64}{3} + 24 = \frac{-64 + 72}{3} = \frac{8}{3}\]Вычислим площадь:
\[S = F(-1) - F(-4) = -\frac{11}{6} - \frac{8}{3} = \frac{-11 - 16}{6} = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2}\]Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль:
\[S = |-\frac{9}{2}| = \frac{9}{2} = 4.5\]Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно нашел точки пересечения и вычислил интеграл.
Уровень Эксперт: Всегда проверяй знак разности функций, чтобы не получить отрицательную площадь.
