8) √x²+x-21 = √2x-1

8) Для решения иррационального уравнения необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{x^2+x-21})^2 = (\sqrt{2x-1})^2$$

$$x^2 + x - 21 = 2x - 1$$

$$x^2 - x - 20 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$

$$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = -4$$

Выполним проверку:

При x = 5:

$$\sqrt{5^2 + 5 - 21} = \sqrt{25 + 5 - 21} = \sqrt{9} = 3$$

$$\sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$$

x = 5 - корень уравнения.

При x = -4:

$$\sqrt{(-4)^2 + (-4) - 21} = \sqrt{16 - 4 - 21} = \sqrt{-9}$$

Т.к. подкоренное выражение меньше нуля, то корень не существует.

$$\sqrt{2 \cdot (-4) - 1} = \sqrt{-8 - 1} = \sqrt{-9}$$

Т.к. подкоренное выражение меньше нуля, то корень не существует.

x = -4 не является корнем уравнения.

Ответ: x = 5