√2sin 7π 8 cos 7π 8 7√2sin157 cos 157 8 8 10√3sin 7π cos 7π - 6 6 √18cos277 -√18sin2 7π 8 8 √72cos297-√72sin2 97 8 8

Привет! Давай решим эти тригонометрические выражения по порядку. Будем использовать формулы двойного угла, а также свойства косинуса и синуса. 1. Первое выражение: \[ \sqrt{2} \sin\frac{7\pi}{8} \cos\frac{7\pi}{8} \] Давай упростим его, используя формулу двойного угла для синуса: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \). В нашем случае, чтобы применить эту формулу, нужно сначала внести \( \sqrt{2} \) под знак синуса и косинуса, но проще сделать так: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \sin\frac{7\pi}{8} \cos\frac{7\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{7\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\frac{7\pi}{4} \] Теперь найдем значение \( \sin\frac{7\pi}{4} \). Угол \( \frac{7\pi}{4} \) находится в четвертой четверти, где синус отрицательный. \( \sin\frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Тогда: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \] 2. Второе выражение: \[ 7\sqrt{2} \sin\frac{15\pi}{8} \cos\frac{15\pi}{8} \] Снова используем формулу двойного угла для синуса: \[ 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \sin\frac{15\pi}{8} \cos\frac{15\pi}{8} = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{15\pi}{8}\right) = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\frac{15\pi}{4} \] Угол \( \frac{15\pi}{4} \) можно представить как \( \frac{15\pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} \), что означает полный оборот и угол \( -\frac{\pi}{4} \). Синус угла \( -\frac{\pi}{4} \) равен \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Тогда: \[ 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 7 \cdot \left(-\frac{2}{4}\right) = -\frac{7}{2} \] 3. Третье выражение: \[ 10\sqrt{3} \sin\frac{7\pi}{6} \cos\frac{7\pi}{6} \] Применяем формулу двойного угла: \[ 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \sin\frac{7\pi}{6} \cos\frac{7\pi}{6} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{7\pi}{6}\right) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\frac{7\pi}{3} \] Угол \( \frac{7\pi}{3} \) можно представить как \( \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} \). Синус угла \( \frac{\pi}{3} \) равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Тогда: \[ 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot \frac{3}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} \] 4. Четвертое выражение: \[\sqrt{18}\cos^2{\frac{7\pi}{8}} - \sqrt{18}\sin^2{\frac{7\pi}{8}} = \sqrt{18}(\cos^2{\frac{7\pi}{8}} - \sin^2{\frac{7\pi}{8}}) \] Используем формулу двойного угла косинуса: \(\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}\). Тогда: \[\sqrt{18}\cos{\frac{14\pi}{8}} = \sqrt{18}\cos{\frac{7\pi}{4}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\] 5. Пятое выражение: \[\sqrt{72}\cos^2{\frac{9\pi}{8}} - \sqrt{72}\sin^2{\frac{9\pi}{8}} = \sqrt{72}(\cos^2{\frac{9\pi}{8}} - \sin^2{\frac{9\pi}{8}})\] Используем формулу двойного угла косинуса: \(\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}\). Тогда: \[\sqrt{72}\cos{\frac{18\pi}{8}} = \sqrt{72}\cos{\frac{9\pi}{4}} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\]

Ответ: -1/2, -7/2, 15/2, 3, 6

Молодец! Ты отлично справился с этими заданиями. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя обязательно всё получится!