√7 a) (√2 + √14 - 2√35) + √20; 7 6) (√5+ √3-√15) (√5 - √3) + √75.

Анализ задачи

Это задание по математике, а именно упрощение выражений, содержащих квадратные корни. Необходимо выполнить действия с корнями, используя свойства квадратных корней и алгебраические преобразования.

Решение

a) Упростим выражение \[(\sqrt{21} + \sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20}\]

1. Умножаем скобку на \[\frac{\sqrt{7}}{7}\]: \[\frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{7}}{7} + \frac{\sqrt{14} \cdot \sqrt{7}}{7} - \frac{2\sqrt{35} \cdot \sqrt{7}}{7}\]
2. Упрощаем каждый член:
   • \[\frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{3 \cdot 7} \cdot \sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{3} \cdot 7}{7} = \sqrt{3}\]
   • \[\frac{\sqrt{14} \cdot \sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{2 \cdot 7} \cdot \sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{7} = \sqrt{2}\]
   • \[\frac{2\sqrt{35} \cdot \sqrt{7}}{7} = \frac{2\sqrt{5 \cdot 7} \cdot \sqrt{7}}{7} = \frac{2\sqrt{5} \cdot 7}{7} = 2\sqrt{5}\]
   Получаем: \[\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}\]
3. Упрощаем \[\sqrt{20}\]: \[\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\]
4. Подставляем обратно в выражение: \[\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{3} + \sqrt{2}\]

б) Упростим выражение \[(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{75}\]

1. Умножаем скобки: \[(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) - \sqrt{15}(\sqrt{5} - \sqrt{3})\]
2. Используем формулу разности квадратов: \[(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\] \[(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2\]
3. Упрощаем вторую часть: \[-\sqrt{15}(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = -\sqrt{15 \cdot 5} + \sqrt{15 \cdot 3} = - \sqrt{75} + \sqrt{45} = - \sqrt{25 \cdot 3} + \sqrt{9 \cdot 5} = -5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}\]
4. Подставляем обратно в выражение: \[2 - 5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} + \sqrt{75}\]
5. Упрощаем \[\sqrt{75}\]: \[\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\]
6. Подставляем обратно в выражение: \[2 - 5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} + 5\sqrt{3} = 2 + 3\sqrt{5}\]

Ответ: a) \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\) ; б) \(2 + 3\sqrt{5}\)