253. 3 √ 10 √ 7 и 3 √ 5 4 √ 3

Сравним числа $$ \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \sqrt{7} $$ и $$ \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} $$. Преобразуем выражения:$$ \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \sqrt{7} = \frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{7}\sqrt{10}}{10} = \frac{3\sqrt{70}}{10} $$$$ \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{15}} = \frac{12\sqrt{15}}{15} = \frac{4\sqrt{15}}{5} $$Сравним полученные числа $$ \frac{3\sqrt{70}}{10} $$ и $$ \frac{4\sqrt{15}}{5} $$. Домножим вторую дробь на $$ \frac{2}{2} $$ и получим $$ \frac{8\sqrt{15}}{10} $$. Сравним теперь числители: $$ 3\sqrt{70} $$ и $$ 8\sqrt{15} $$. Возведем их в квадрат:$$ (3\sqrt{70})^2 = 9 \cdot 70 = 630 $$$$ (8\sqrt{15})^2 = 64 \cdot 15 = 960 $$Так как 630 < 960, то $$ 3\sqrt{70} < 8\sqrt{15} $$, значит, $$ \frac{3\sqrt{70}}{10} < \frac{8\sqrt{15}}{10} $$, то есть $$ \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \sqrt{7} < \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} $$.

Ответ: $$ \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \sqrt{7} < \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} $$