8√(23⁵/₂₁₆)² =

Для решения данного примера необходимо упростить выражение, используя свойства степеней и корней.

1. Упростим выражение под корнем:

$$(\frac{23^5}{216})^2 = \frac{23^{5 \cdot 2}}{216^2} = \frac{23^{10}}{216^2}$$

2. Представим 216 как степень числа 6:

$$216 = 6^3$$

Тогда: $$216^2 = (6^3)^2 = 6^{3 \cdot 2} = 6^6$$

3. Запишем выражение под корнем в виде:

$$\frac{23^{10}}{6^6}$$

4. Извлечём корень 8-й степени из полученного выражения:

$$\sqrt[8]{\frac{23^{10}}{6^6}} = \frac{\sqrt[8]{23^{10}}}{\sqrt[8]{6^6}} = \frac{23^{\frac{10}{8}}}{6^{\frac{6}{8}}} = \frac{23^{\frac{5}{4}}}{6^{\frac{3}{4}}}$$

5. Преобразуем степени в виде произведения целой части и дроби:

$$\frac{23^{\frac{5}{4}}}{6^{\frac{3}{4}}} = \frac{23^{1+\frac{1}{4}}}{6^{\frac{3}{4}}} = \frac{23^1 \cdot 23^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{3}{4}}} = 23 \cdot \frac{\sqrt[4]{23}}{\sqrt[4]{6^3}} = 23 \cdot \sqrt[4]{\frac{23}{6^3}} = 23 \cdot \sqrt[4]{\frac{23}{216}}$$ Таким образом, получаем:

$$8√(23⁵/₂₁₆)² = 23 \cdot \sqrt[4]{\frac{23}{216}}$$

Ответ: $$23 \cdot \sqrt[4]{\frac{23}{216}}$$