(2+√3)ˣ+(2-√3)ˣ = 4

Ответ: x = ±1

Разбираемся:

1. Заметим, что \[ (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1 \], значит, \[ 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \]

2. Пусть \[ t = (2 + \sqrt{3})^x \], тогда \[ (2 - \sqrt{3})^x = \left( \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \right)^x = \frac{1}{(2 + \sqrt{3})^x} = \frac{1}{t} \]

3. Исходное уравнение примет вид: \[ t + \frac{1}{t} = 4 \]

4. Умножим обе части уравнения на t (t ≠ 0): \[ t^2 + 1 = 4t \]

5. Перенесём все члены в левую часть: \[ t^2 - 4t + 1 = 0 \]

6. Решим квадратное уравнение относительно t. Дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 \]

7. Корни уравнения: \[ t_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \]

8. Получаем два случая:

   • Случай 1: \[ (2 + \sqrt{3})^x = 2 + \sqrt{3} \]

     Тогда x = 1

   • Случай 2: \[ (2 + \sqrt{3})^x = 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = (2 + \sqrt{3})^{-1} \]

     Тогда x = -1

Ответ: x = ±1