25* {(√3)ˣ⁻ʸ = (⅓)ˣ⁻²ʸ log₂(x+y)+log₂(x-y)=4 A) (4;3) B) (5;3) C) (3;5) D) (5;6)

Шаг 1: Преобразуем первое уравнение, используя свойства степеней: \[(\sqrt{3})^{x-y} = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2y}\] \[(3^{\frac{1}{2}})^{x-y} = (3^{-1})^{x-2y}\] \[3^{\frac{1}{2}(x-y)} = 3^{-x+2y}\] Так как основания равны, можем приравнять показатели: \[\frac{1}{2}(x-y) = -x+2y\] \[x-y = -2x+4y\] \[3x = 5y\] \[x = \frac{5}{3}y\]

Шаг 2: Преобразуем второе уравнение, используя свойства логарифмов: \[\log_2(x+y) + \log_2(x-y) = 4\] \[\log_2((x+y)(x-y)) = 4\] \[(x+y)(x-y) = 2^4\] \[x^2 - y^2 = 16\]

Шаг 3: Подставим выражение для x из первого уравнения во второе: \[\left(\frac{5}{3}y\right)^2 - y^2 = 16\] \[\frac{25}{9}y^2 - y^2 = 16\] \[\frac{25}{9}y^2 - \frac{9}{9}y^2 = 16\] \[\frac{16}{9}y^2 = 16\] \[y^2 = 9\] \[y = \pm 3\] Так как в логарифмах должны быть положительные числа, то x > y и x > -y. Следовательно, y = 3.

Шаг 4: Найдем x: \[x = \frac{5}{3}y = \frac{5}{3}(3) = 5\] Таким образом, x = 5 и y = 3. Проверим, подходит ли это решение: \[x+y = 5+3 = 8 > 0\] \[x-y = 5-3 = 2 > 0\] Все условия выполнены. Но в вариантах ответа нет (5;3). Проверим решение (4;3): \[x = \frac{5}{3}y = \frac{5}{3} (3) = 5
eq 4\] При y = 3, x должен быть равен 5, так что вариант A (4;3) не подходит. Однако, перепроверив исходное уравнение: \[\log_2(x+y)+\log_2(x-y)=4\] Подставим x=4, y=3: \[\log_2(4+3) + \log_2(4-3) = \log_2(7) + \log_2(1) = \log_2(7)
eq 4\] Так что, видимо, опечатка в условии или ответах. Но если допустить, что в первом уравнении опечатка и должно быть \((\sqrt{3})^{x-y} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-(x-2y)}\), тогда: \(\frac{1}{2}(x-y) = x-2y\) \(x-y=2x-4y\) \(x=3y\) Подставляем во второе уравнение: \(x^2-y^2=16\) \((3y)^2-y^2=16\) \(9y^2-y^2=16\) \(8y^2=16\) \(y^2=2\) \(y = \sqrt{2}\) (что не соответствует ни одному варианту) Если же опечатка во втором уравнении и там должно быть \(\log_2(x+y) + \log_2(x-y) = 3\), то \[(x+y)(x-y) = 2^3 = 8\] \[x^2 - y^2 = 8\] Тогда \[(\frac{5}{3}y)^2 - y^2 = 8\] \[\frac{16}{9}y^2 = 8\] \[y^2 = \frac{9}{2}\] \[y = \frac{3}{\sqrt{2}}\] Проверим вариант A) (4;3): \[(\sqrt{3})^{4-3} = \sqrt{3}\] \[(\frac{1}{3})^{4-2(3)} = (\frac{1}{3})^{-2} = 9\] Не сходится первое уравнение, поэтому A) неверно. Допустим, что есть опечатка в ответе и должно быть (5;3): Тогда подставим в исходные уравнения: \[(\sqrt{3})^{5-3} = (\sqrt{3})^2 = 3\] \[(\frac{1}{3})^{5-2(3)} = (\frac{1}{3})^{-1} = 3\] \[log_2(5+3)+log_2(5-3)=log_2(8)+log_2(2)=3+1=4\] Ответ: (5;3)

Показать решение:

Если в условии опечатка, то (5;3) - решение.