Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
• 1. Решите уравнение: a) 7x²-9x+2=0; б) 5x² = 12x; а) 9x²-7x-2=0; б) 4x²-x=0; в) 7х2-28=0; г) х²+20х+91=0. в) 5х2 = 45; г) х²+18x-63=0. 1. Разложите на множители квадратный трехчлен: б) x²+4x-12; a) 5x²-3x-26;
Ответ:
Краткое пояснение: Необходимо решить уравнения и разложить квадратные трехчлены на множители, используя методы, известные из школьной алгебры.
1. Решите уравнение:
а) \(7x^2 - 9x + 2 = 0\);
Вычислим дискриминант: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 + 5}{14} = \frac{14}{14} = 1\), \(x_2 = \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 - 5}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 + 5}{14} = \frac{14}{14} = 1\), \(x_2 = \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 - 5}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\).
Ответ: 1, \(\frac{2}{7}\)
б) \(5x^2 = 12x\);
Перенесем все в одну сторону: \(5x^2 - 12x = 0\).
Вынесем x за скобки: \(x(5x - 12) = 0\).
Тогда, либо \(x = 0\), либо \(5x - 12 = 0\) => \(5x = 12\) => \(x = \frac{12}{5} = 2.4\).
Перенесем все в одну сторону: \(5x^2 - 12x = 0\).
Вынесем x за скобки: \(x(5x - 12) = 0\).
Тогда, либо \(x = 0\), либо \(5x - 12 = 0\) => \(5x = 12\) => \(x = \frac{12}{5} = 2.4\).
Ответ: 0, 2.4
в) \(7x^2 - 28 = 0\);
Разделим обе части на 7: \(x^2 - 4 = 0\).
Тогда, \(x^2 = 4\), значит \(x = \pm 2\).
Разделим обе части на 7: \(x^2 - 4 = 0\).
Тогда, \(x^2 = 4\), значит \(x = \pm 2\).
Ответ: -2, 2
г) \(x^2 + 20x + 91 = 0\);
Вычислим дискриминант: \(D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-20 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 6}{2} = \frac{-14}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-20 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 6}{2} = \frac{-26}{2} = -13\).
Вычислим дискриминант: \(D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-20 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 6}{2} = \frac{-14}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-20 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 6}{2} = \frac{-26}{2} = -13\).
Ответ: -7, -13
а) \(9x^2 - 7x - 2 = 0\);
Вычислим дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 49 + 72 = 121\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 + 11}{18} = \frac{18}{18} = 1\), \(x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 - 11}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 49 + 72 = 121\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 + 11}{18} = \frac{18}{18} = 1\), \(x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 - 11}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}\).
Ответ: 1, -\(\frac{2}{9}\)
б) \(4x^2 - x = 0\);
Вынесем x за скобки: \(x(4x - 1) = 0\).
Тогда, либо \(x = 0\), либо \(4x - 1 = 0\) => \(4x = 1\) => \(x = \frac{1}{4} = 0.25\).
Вынесем x за скобки: \(x(4x - 1) = 0\).
Тогда, либо \(x = 0\), либо \(4x - 1 = 0\) => \(4x = 1\) => \(x = \frac{1}{4} = 0.25\).
Ответ: 0, 0.25
в) \(5x^2 = 45\);
Разделим обе части на 5: \(x^2 = 9\).
Тогда, \(x = \pm 3\).
Разделим обе части на 5: \(x^2 = 9\).
Тогда, \(x = \pm 3\).
Ответ: -3, 3
г) \(x^2 + 18x - 63 = 0\);
Вычислим дискриминант: \(D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-18 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 + 24}{2} = \frac{6}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{-18 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 - 24}{2} = \frac{-42}{2} = -21\).
Вычислим дискриминант: \(D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-18 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 + 24}{2} = \frac{6}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{-18 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 - 24}{2} = \frac{-42}{2} = -21\).
Ответ: 3, -21
2. Разложите на множители квадратный трехчлен:
б) \(x^2 + 4x - 12\);
Найдем корни уравнения \(x^2 + 4x - 12 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6\).
Разложение на множители: \(x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6)\).
Найдем корни уравнения \(x^2 + 4x - 12 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6\).
Разложение на множители: \(x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6)\).
Ответ: (x - 2)(x + 6)
а) \(5x^2 - 3x - 26\);
Найдем корни уравнения \(5x^2 - 3x - 26 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-26) = 9 + 520 = 529\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{529}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 23}{10} = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}\), \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{529}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 23}{10} = \frac{-20}{10} = -2\).
Разложение на множители: \(5x^2 - 3x - 26 = 5(x - \frac{13}{5})(x + 2) = (5x - 13)(x + 2)\).
Найдем корни уравнения \(5x^2 - 3x - 26 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-26) = 9 + 520 = 529\).
Найдем корни: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{529}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 23}{10} = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}\), \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{529}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 23}{10} = \frac{-20}{10} = -2\).
Разложение на множители: \(5x^2 - 3x - 26 = 5(x - \frac{13}{5})(x + 2) = (5x - 13)(x + 2)\).
Ответ: (5x - 13)(x + 2)
