1°. Упростите выражение: a) (x-3) (x - 7) – 2x (3x – 5); б) 4 a (a-2) - (a-4)2; в) 2 (m + 1)² - 4m. 2°. Разложите на множители: a) x³-9x; 6) -5a² – 10ab – 5b2². 3. Упростите выражение (y² - 2y)² – y²(y + 3)(y - 3) + 2y(2y² + 5(. 4. Разложите на множители: а) 16x4 – 81; б) x2 - x - y²-y. 5. Докажите, что выражение х² – 4x + 9 при любых значениях х принимает положительные значения.

Привет! Сейчас разберемся с этими заданиями. Смотри, тут все довольно просто, главное — внимательность и знание формул.

1°. Упростите выражение:

a) (x - 3) (x - 7) – 2x (3x – 5)

• Раскрываем первые скобки: \( (x - 3)(x - 7) = x^2 - 7x - 3x + 21 = x^2 - 10x + 21 \)
• Раскрываем вторые скобки: \( -2x(3x - 5) = -6x^2 + 10x \)
• Собираем все вместе: \( x^2 - 10x + 21 - 6x^2 + 10x = -5x^2 + 21 \)

Ответ: \( -5x^2 + 21 \)

б) 4 a (a-2) - (a-4)²

• Раскрываем первые скобки: \( 4a(a - 2) = 4a^2 - 8a \)
• Раскрываем квадрат разности: \( (a - 4)^2 = a^2 - 8a + 16 \)
• Собираем все вместе: \( 4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) = 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 = 3a^2 - 16 \)

Ответ: \( 3a^2 - 16 \)

в) 2 (m + 1)² - 4m

• Раскрываем квадрат суммы: \( (m + 1)^2 = m^2 + 2m + 1 \)
• Умножаем на 2: \( 2(m^2 + 2m + 1) = 2m^2 + 4m + 2 \)
• Собираем все вместе: \( 2m^2 + 4m + 2 - 4m = 2m^2 + 2 \)

Ответ: \( 2m^2 + 2 \)

2°. Разложите на множители:

a) x³-9x

• Выносим x за скобки: \( x^3 - 9x = x(x^2 - 9) \)
• Применяем формулу разности квадратов: \( x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3) \)

Ответ: \( x(x - 3)(x + 3) \)

б) -5a² – 10ab – 5b²

• Выносим -5 за скобки: \( -5a^2 - 10ab - 5b^2 = -5(a^2 + 2ab + b^2) \)
• Выделяем полный квадрат: \( -5(a^2 + 2ab + b^2) = -5(a + b)^2 \)

Ответ: \( -5(a + b)^2 \)

3. Упростите выражение (y² - 2y)² – y²(y + 3)(y - 3) + 2y(2y² + 5)

• Раскрываем первую скобку: \( (y^2 - 2y)^2 = y^4 - 4y^3 + 4y^2 \)
• Раскрываем вторую скобку: \( -y^2(y + 3)(y - 3) = -y^2(y^2 - 9) = -y^4 + 9y^2 \)
• Раскрываем третью скобку: \( 2y(2y^2 + 5) = 4y^3 + 10y \)
• Собираем все вместе: \( y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y = 13y^2 + 10y \)

Ответ: \( 13y^2 + 10y \)

4. Разложите на множители:

а) 16x⁴ – 81

• Применяем формулу разности квадратов: \( 16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) \)
• Еще раз применяем формулу разности квадратов: \( (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) = (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \)

Ответ: \( (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \)

б) x² - x - y²-y

• Группируем слагаемые: \( x^2 - y^2 - x - y = (x^2 - y^2) - (x + y) \)
• Раскладываем разность квадратов: \( (x^2 - y^2) - (x + y) = (x - y)(x + y) - (x + y) \)
• Выносим общий множитель: \( (x - y)(x + y) - (x + y) = (x + y)(x - y - 1) \)

Ответ: \( (x + y)(x - y - 1) \)

5. Докажите, что выражение х² – 4x + 9 при любых значениях х принимает положительные значения.

• Выделяем полный квадрат: \( x^2 - 4x + 9 = (x^2 - 4x + 4) + 5 = (x - 2)^2 + 5 \)
• Так как \( (x - 2)^2 \) всегда неотрицательно (квадрат любого числа), а к нему прибавляется 5, то выражение всегда больше 0.

Ответ: Выражение \( x^2 - 4x + 9 \) всегда принимает положительные значения.