23.1.° Спростіть вираз: 1) sin a cos 40+ cos a sin 4a; 2) cos 3 π cos 3 π −sin 3 π sin π ; 8 8 8 8 3) sin a sin (α + β) + cos a cos (α + β); 4) sin 53° cos 7°cos 53° sin (−7°); 5) cos (α+β)+ 2 sin a sin ẞ.

23.1.° Спростіть вираз:

1) sin a cos 4a+ cos a sin 4a

Використовуємо формулу синуса суми: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Тоді:

sin a cos 4a+ cos a sin 4a = sin(a + 4a) = sin 5a

Відповідь: sin 5a

2) cos 3 π cos 3 π −sin 3 π sin π

8 8 8 8

Використовуємо формулу косинуса суми: cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b. Тоді:

cos 3 π cos 3 π −sin 3 π sin π = cos(3π/8 + π/8) = cos(4π/8) = cos(π/2) = 0

8 8 8 8

Відповідь: 0

3) sin a sin (α + β) + cos a cos (α + β)

Переставимо доданки місцями:

cos a cos (α + β) + sin a sin (α + β)

Використовуємо формулу косинуса різниці: cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b. Тоді:

cos a cos (α + β) + sin a sin (α + β) = cos(a - (α + β)) = cos(a - α - β) = cos(-β) = cos β

Відповідь: cos β

4) sin 53° cos 7°− cos 53° sin (−7°)

sin 53° cos 7°− cos 53° sin (−7°) = sin 53° cos 7° + cos 53° sin 7°

Використовуємо формулу синуса суми: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Тоді:

sin 53° cos 7° + cos 53° sin 7° = sin(53° + 7°) = sin 60° = \[\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Відповідь: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

5) cos (α+β)+ 2 sin a sin β.

Використовуємо формулу косинуса суми: cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b. Тоді:

cos (α+β)+ 2 sin a sin β = cos a cos b - sin a sin b + 2 sin a sin β = cos a cos b + sin a sin b

Використовуємо формулу косинуса різниці: cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b. Тоді:

cos a cos b + sin a sin b = cos(a - β)

Відповідь: cos(a - β)