1°. Решите уравнение: a) -3x² + 5x - 2 = 0; б) 2x2 = -6x; в) 3x² - 12 = 0; г) х² - 4x² + 4 = 0 д) 3х4 + 12x² - 12 = 0 2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его площадь 12 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Разложите квадратный трехчлен на множители: a) 3x² - 13x + 46) 2x² - 9x - 5

1°. Решите уравнение:

а) \[-3x^2 + 5x - 2 = 0\]

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента перед x²:

\[3x^2 - 5x + 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Ответ: \[x_1 = 1, x_2 = \frac{2}{3}\]

б) \[2x^2 = -6x\]

Перенесем все в левую часть:

\[2x^2 + 6x = 0\]

Вынесем общий множитель за скобки:

\[2x(x + 3) = 0\]

Тогда либо 2x = 0, либо x + 3 = 0.

Если 2x = 0, то x = 0.

Если x + 3 = 0, то x = -3.

Ответ: \[x_1 = 0, x_2 = -3\]

в) \[3x^2 - 12 = 0\]

Перенесем -12 в правую часть:

\[3x^2 = 12\]

Разделим обе части на 3:

\[x^2 = 4\]

Тогда x = ±2.

Ответ: \[x_1 = 2, x_2 = -2\]

г) \[x^4 - 4x^2 + 4 = 0\]

Обозначим y = x²:

\[y^2 - 4y + 4 = 0\]

Это полный квадрат:

\[(y - 2)^2 = 0\]

Тогда y - 2 = 0, значит, y = 2.

Тогда x² = 2, значит, x = ±√2.

Ответ: \[x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}\]

д) \[-3x^4 + 12x^2 - 12 = 0\]

Умножим обе части на -1, чтобы изменить знаки:

\[3x^4 - 12x^2 + 12 = 0\]

Разделим обе части на 3:

\[x^4 - 4x^2 + 4 = 0\]

Обозначим y = x²:

\[y^2 - 4y + 4 = 0\]

Это полный квадрат:

\[(y - 2)^2 = 0\]

Тогда y - 2 = 0, значит, y = 2.

Тогда x² = 2, значит, x = ±√2.

Ответ: \[x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}\]

2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его площадь 12 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b - длины сторон прямоугольника. Тогда периметр P = 2(a + b) = 14 см, а площадь S = a \cdot b = 12 см².

Выразим a + b из уравнения периметра:

\[2(a + b) = 14\]

\[a + b = 7\]

Выразим a через b из уравнения площади:

\[a = \frac{12}{b}\]

Подставим это в уравнение для суммы:

\[\frac{12}{b} + b = 7\]

Умножим обе части на b:

\[12 + b^2 = 7b\]

\[b^2 - 7b + 12 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\]

\[b_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

\[b_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Если b = 4, то a = \frac{12}{4} = 3.

Если b = 3, то a = \frac{12}{3} = 4.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.

3. Разложите квадратный трехчлен на множители:

a) \[3x^2 - 13x + 4\]

Сначала найдем корни квадратного трехчлена, приравняв его к нулю:

\[3x^2 - 13x + 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121\]

\[x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4\]

\[x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:

\[3(x - 4)(x - \frac{1}{3}) = (x - 4)(3x - 1)\]

Ответ: \[(x - 4)(3x - 1)\]

б) \[2x^2 - 9x - 5\]

Сначала найдем корни квадратного трехчлена, приравняв его к нулю:

\[2x^2 - 9x - 5 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\]

\[x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5\]

\[x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\]

Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:

\[2(x - 5)(x + \frac{1}{2}) = (x - 5)(2x + 1)\]

Ответ: \[(x - 5)(2x + 1)\]