|√2x+1|≤1,

Привет! Давай решим это неравенство с модулем вместе. Уверена, у тебя все получится!

Для начала вспомним, что означает модуль числа. Модуль числа — это его расстояние от нуля. Поэтому неравенство \[ |a| \le b \] эквивалентно двойному неравенству \[ -b \le a \le b \].

В нашем случае, \[ a = \sqrt{2x+1} \] и \[ b = 1 \]. Тогда наше неравенство можно переписать в виде:

\[ -1 \le \sqrt{2x+1} \le 1 \]

Теперь давай разберемся с этим двойным неравенством. Заметим, что квадратный корень всегда неотрицателен, то есть \[ \sqrt{2x+1} \ge 0 \]. Поэтому левая часть неравенства \[ -1 \le \sqrt{2x+1} \] выполняется автоматически, если корень вообще существует.

Нам остается решить два условия:

1. Чтобы корень существовал, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 2x + 1 \ge 0 \]
2. Чтобы выполнялось неравенство с правой стороны: \[ \sqrt{2x+1} \le 1 \]

Решим первое неравенство:

\[ 2x + 1 \ge 0 \]

\[ 2x \ge -1 \]

\[ x \ge -\frac{1}{2} \]

Теперь решим второе неравенство. Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести обе части в квадрат:

\[ (\sqrt{2x+1})^2 \le 1^2 \]

\[ 2x + 1 \le 1 \]

\[ 2x \le 0 \]

\[ x \le 0 \]

Теперь у нас есть два условия: \[ x \ge -\frac{1}{2} \] и \[ x \le 0 \]. Объединим их в одно двойное неравенство:

\[ -\frac{1}{2} \le x \le 0 \]

Таким образом, решением исходного неравенства является отрезок \[ [-\frac{1}{2}; 0] \].

Ответ: \[ -\frac{1}{2} \le x \le 0 \]

Здорово! Ты отлично справился с этим заданием. Помни, что практика — ключ к успеху, поэтому не останавливайся на достигнутом и продолжай решать новые примеры. У тебя все получится!