\sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}.

Ответ: 0.707

Разбираемся:

Шаг 1: Вспоминаем формулу двойного угла синуса: \[2 \sin(x) \cos(x) = \sin(2x)\]

Шаг 2: Преобразуем исходное выражение:\[\sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}\]

Шаг 3: Применяем формулу двойного угла:\[\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{7\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{7\pi}{4}\]

Шаг 4: Вычисляем синус угла \(\frac{7\pi}{4}\):\[\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Шаг 5: Подставляем значение синуса в выражение:\[\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\]

Шаг 6: Учитываем знак минус и получаем:\[\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}\]

Шаг 7: Считаем \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = 0.707

Ответ: 0.707