Решение:

Для решения этого примера необходимо упростить выражение с корнями. Вспомним свойства квадратных корней: $$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$ и $$\sqrt{a^2} = a$$

1. Преобразуем выражение:

$$ \sqrt{11 \cdot 18 \cdot \sqrt{22}} = \sqrt{11 \cdot 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{2 \cdot 11}} = \sqrt{2 \cdot 11 \cdot 9 \cdot \sqrt{2 \cdot 11}} $$

1. Упростим выражение под корнем:

$$ \sqrt{2 \cdot 11 \cdot 9 \cdot \sqrt{2 \cdot 11}} = \sqrt{198 \cdot \sqrt{22}} $$

Так как извлечь корень из 198 и 22 не представляется возможным, оставим так.

1. Представим под одним корнем:

$$ \sqrt{11 \cdot 18 \cdot 22} = \sqrt{11 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 11} = \sqrt{11^2 \cdot 2^2 \cdot 9} $$

1. Извлечем корень из полных квадратов:

$$ \sqrt{11^2 \cdot 2^2 \cdot 9} = 11 \cdot 2 \cdot \sqrt{9} = 11 \cdot 2 \cdot 3 $$

1. Вычислим результат:

$$11 \cdot 2 \cdot 3 = 22 \cdot 3 = 66$$

Ответ: 66