5) {$$\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = 1$$ {$$3\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 1$$}

Рассмотрим систему уравнений:

\[\begin{cases} \sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = 1 \\ 3\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 1 \end{cases}\]

Умножим второе уравнение на 2:

\[2(3\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}) = 2 \cdot 1\] \[6\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[3]{y} = 2\]

Теперь у нас есть новая система уравнений:

\[\begin{cases} \sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = 1 \\ 6\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[3]{y} = 2 \end{cases}\]

Сложим два уравнения, чтобы исключить \( \sqrt[3]{y} \):

\[(\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y}) + (6\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[3]{y}) = 1 + 2\] \[7\sqrt[3]{x} = 3\] \[\sqrt[3]{x} = \frac{3}{7}\]

Возведем обе части в куб:

\[(\sqrt[3]{x})^3 = \left(\frac{3}{7}\right)^3\] \[x = \frac{27}{343}\]

Теперь найдем \( y \). Подставим найденное значение \( \sqrt[3]{x} = \frac{3}{7} \) в первое уравнение исходной системы:

\[\frac{3}{7} + 2\sqrt[3]{y} = 1\] \[2\sqrt[3]{y} = 1 - \frac{3}{7}\] \[2\sqrt[3]{y} = \frac{4}{7}\] \[\sqrt[3]{y} = \frac{2}{7}\]

Возведем обе части в куб:

\[(\sqrt[3]{y})^3 = \left(\frac{2}{7}\right)^3\] \[y = \frac{8}{343}\]

Ответ:

\[\begin{cases} x = \frac{27}{343} \\ y = \frac{8}{343} \end{cases}\]