\int \frac{2x^3 - \sqrt{x} + 4}{x^2} dx

Давай решим данный интеграл по шагам. 1. Разделим каждый член числителя на знаменатель: \[\int \frac{2x^3 - \sqrt{x} + 4}{x^2} dx = \int (\frac{2x^3}{x^2} - \frac{\sqrt{x}}{x^2} + \frac{4}{x^2}) dx\] 2. Упростим выражение: \[\int (2x - x^{-\frac{3}{2}} + 4x^{-2}) dx\] 3. Найдем интеграл каждого члена: \[\int 2x dx - \int x^{-\frac{3}{2}} dx + \int 4x^{-2} dx\] 4. Интегрируем каждый член по отдельности: * \[\int 2x dx = x^2 + C_1\] * \[\int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C_2 = -2x^{-\frac{1}{2}} + C_2 = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C_2\] * \[\int 4x^{-2} dx = 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C_3 = -4x^{-1} + C_3 = -\frac{4}{x} + C_3\] 5. Объединим результаты: \[x^2 - (-\frac{2}{\sqrt{x}}) + (-\frac{4}{x}) + C = x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{4}{x} + C\]

Ответ: \[x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{4}{x} + C\]

Не переживай, если сразу не получается, главное - практика! У тебя всё получится!